Considere a função Utilidade de Leontief dada por
dada por
, onde
e
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief para
e
maiores do que zero quaisquer.
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief para
Passo 1
O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função
dada por
, com
e
quaisquer.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função está definida no quadrante não-negativo
. - Os parâmetros
e são positivos, mas não têm valores fixos (devem ser tratados como constantes positivas genéricas). - Uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos onde . Como , os níveis relevantes são .
O que será feito: para umcaracterizar algebraicamente e geometricamente o conjunto e explicar como desenhar essas curvas para vários .
Passo 2
Definição matemática da curva de nível: para um dado
defino
Vamos transformar a condição
em condições equivalentes que facilitem desenhar
. A função
satisfaz
Aplicando isso com
e
obtemos a descrição lógica:
Passo 3
Transformo as equalidades em expressões para
e
:
- Se
então
com a restrição complementar
, isto é
. Assim um pedaço da curva é
que é uma semi-reta vertical (no quadrante) partindo do ponto
e indo para cima.
- Se
então
com a restrição complementar
, isto é
. Assim o outro pedaço da curva é
que é uma semi-reta horizontal (no quadrante) partindo do mesmo ponto
e indo para a direita.
Portanto, para
, a curva de nível
é a união dessas duas semi-retas, formando um “L” com vértice em
.
Passo 4
Caso especial
: aplicar a condição
. Como
,
Logo
é a união dos eixos não-negativos:
Passo 5
Descrição geométrica e variação com
:
- Para cada
, o vértice do “L” está em
Ao variar
esse vértice percorre a reta que sai da origem e tem equação (eliminando
)
ou seja, todos os vértices estão alinhados sobre a semi-reta de inclinação
. Conforme
aumenta, o vértice desloca-se para longe da origem ao longo dessa direção, e as duas semi-retas do “L” deslocam-se em conjunto (o “L” cresce e se afasta da origem).
- A forma geral é sempre um isoquanto em “L” (ângulo reto): uma semi-reta vertical que sobe a partir do vértice e uma semi-reta horizontal que vai para a direita a partir do vértice.
- Efeito dos parâmetros
e : como as coordenadas do vértice são , aumentar torna a coordenada menor (vértice mais próximo do eixo ); aumentar torna a coordenada menor (vértice mais próximo do eixo ).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a imagem (valores numéricos):
- Se
: os vértices ficam em . Para a curva de nível é a união da vertical com a horizontal . - Se
: para o vértice é . A curva de nível é a união da vertical com a horizontal .
Resposta
Para
:
Para
: