Considere a função Utilidade de Leontief dada por U: \mathbb{R}_{\geq 0}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por U(x, y)=\min \{a x, b y\}, onde a>0 e b>0
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief para a e b maiores do que zero quaisquer.

Passo 1

O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função U:\mathbb{R}_{\ge 0}^{2}\to\mathbb{R} dada por U(x,y)=\min\{a x, b y\}, com a>0 e b>0 quaisquer.
Informações importantes fornecidas:
  • A função está definida no quadrante não-negativo \mathbb{R}_{\ge 0}^{2}.
  • Os parâmetros a e b são positivos, mas não têm valores fixos (devem ser tratados como constantes positivas genéricas).
  • Uma curva de nível para um valor k é o conjunto de pontos onde U(x,y)=k. Como U\ge 0, os níveis relevantes são k\ge 0.
    O que será feito: para um k\ge 0 caracterizar algebraicamente e geometricamente o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^{2}\mid U(x,y)=k\} e explicar como desenhar essas curvas para vários k.

Passo 2

Definição matemática da curva de nível: para um dado k\ge 0 defino
L_k=\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^{2}\mid \min\{a x,b y\}=k\}.
Vamos transformar a condição \min\{a x,b y\}=k em condições equivalentes que facilitem desenhar L_k. A função \min satisfaz
\min\{u,v\}=k \quad\Longleftrightarrow\quad \big(u=k\text{ e }v\ge k\big)\\ \text{ ou }\\ \big(v=k\text{ e }u\ge k\big).
Aplicando isso com u=ax e v=by obtemos a descrição lógica:
\min\{a x,b y\}=k \iff \big(a x = k\\ \text{ e }\\ b y\ge k\big)\\ \text{ ou }\\ \big(b y = k\\ \text{ e }\\ a x\ge k\big).

Passo 3

Transformo as equalidades em expressões para x e y:
  • Se a x = k então
x=\frac{k}{a},
com a restrição complementar b y\ge k, isto é y\ge \dfrac{k}{b}. Assim um pedaço da curva é
\Big\{\big(x,y\big)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^2 \mid x=\frac{k}{a},\\ y\ge\frac{k}{b}\Big\},
que é uma semi-reta vertical (no quadrante) partindo do ponto \big(\tfrac{k}{a},\tfrac{k}{b}\big) e indo para cima.
  • Se b y = k então
y=\frac{k}{b},
com a restrição complementar a x\ge k, isto é x\ge \dfrac{k}{a}. Assim o outro pedaço da curva é
\Big\{\big(x,y\big)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^2 \mid y=\frac{k}{b},\\ x\ge\frac{k}{a}\Big\},
que é uma semi-reta horizontal (no quadrante) partindo do mesmo ponto \big(\tfrac{k}{a},\tfrac{k}{b}\big) e indo para a direita.
Portanto, para k>0, a curva de nível L_k é a união dessas duas semi-retas, formando um “L” com vértice em \big(\tfrac{k}{a},\tfrac{k}{b}\big).

Passo 4

Caso especial k=0: aplicar a condição \min\{a x,b y\}=0. Como a,b>0,
\min\{a x,b y\}=0 \iff a x=0\\ \text{ou}\\ b y=0 \iff x=0\\ \text{ou}\\ y=0.
Logo L_0 é a união dos eixos não-negativos:
L_0=\{(x,0)\mid x\ge 0\}\cup\{(0,y)\mid y\ge 0\}.

Passo 5

Descrição geométrica e variação com k:
  • Para cada k>0, o vértice do “L” está em
\left(\frac{k}{a},\frac{k}{b}\right).
Ao variar k esse vértice percorre a reta que sai da origem e tem equação (eliminando k)
y=\frac{a}{b}\,x,
ou seja, todos os vértices estão alinhados sobre a semi-reta de inclinação \dfrac{a}{b}. Conforme k aumenta, o vértice desloca-se para longe da origem ao longo dessa direção, e as duas semi-retas do “L” deslocam-se em conjunto (o “L” cresce e se afasta da origem).
  • A forma geral é sempre um isoquanto em “L” (ângulo reto): uma semi-reta vertical que sobe a partir do vértice e uma semi-reta horizontal que vai para a direita a partir do vértice.
  • Efeito dos parâmetros a e b: como as coordenadas do vértice são \big(\tfrac{k}{a},\tfrac{k}{b}\big), aumentar a torna a coordenada x=\tfrac{k}{a} menor (vértice mais próximo do eixo y); aumentar b torna a coordenada y=\tfrac{k}{b} menor (vértice mais próximo do eixo x).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a imagem (valores numéricos):
  • Se a=b=1: os vértices ficam em (k,k). Para k=1 a curva de nível é a união da vertical x=1,\\ y\ge 1 com a horizontal y=1,\\ x\ge 1.
  • Se a=2,\\ b=1: para k=1 o vértice é (\tfrac{1}{2},1). A curva de nível k=1 é a união da vertical x=\tfrac{1}{2},\\ y\ge 1 com a horizontal y=1,\\ x\ge \tfrac{1}{2}.

Resposta

Para k>0: L_k=\Big\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^2 \mid x=\dfrac{k}{a},\\ y\ge\dfrac{k}{b}\Big\}\\ \cup\\ \Big\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\ge 0}^2 \mid y=\dfrac{k}{b},\\ x\ge\dfrac{k}{a}\Big\}.
Para k=0: L_0=\{(x,0)\mid x\ge 0\}\cup\{(0,y)\mid y\ge 0\}.

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