Questão 1(5,0)

Considere uma reaçāo gasosa do tipo A+2 B \rightarrow 3 C, conduzida em regime isotérmico (370 \mathrm{~K}) absobárico (1,18 \mathrm{~atm}). A reaçāo ocorre em dois PFRs em série. A vazāo de alimentação é 10 mol/min de A e 20 \mathrm{mol} / \mathrm{min} de B . A espécie C começa a condensar quando sua pressão parcial atinge 0,24 atm. A reação é de 1^{\mathrm{a}} ordem em relação a A , com constante de velocidade \mathrm{k}=0,3 \mathrm{~min}^{-1}. A vazão molar de líquido é de 22,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}. Calcule a porcentagem do volume total do sistema sem condensação.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Reação: A + 2B \rightarrow 3C.
  • Condições: isotérmico ( 370\\ \mathrm{K}), isobárico ( 1,18\\ \mathrm{atm}).
  • Alimentação: F_{A0}=10\\ \mathrm{mol/min}, F_{B0}=20\\ \mathrm{mol/min}, sem C no alimento.
  • Ordem: primeira ordem em A com constante k=0,3\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • A condensação de C inicia quando a pressão parcial de C atinge 0,24\\ \mathrm{atm}.
  • Vazão molar de líquido (condensado): F_{\ell}=22{,}5\\ \mathrm{mol/min}.
  • Configuração: dois PFRs em série (a pergunta é sobre porcentagem do volume total do sistema sem condensação).
O que se pede:
  • A porcentagem do volume total do sistema (ou seja, fração do volume total dos dois PFRs) em que NÃO ocorre condensação de C (isto é, até o ponto em que a pressão parcial de C atinge 0,24\\ \mathrm{atm}).

Passo 2

Determinar a conversão na qual começa a condensação (conversão de A correspondente a p_C=0{,}24\\ \mathrm{atm}).
Relação entre fração molar de C no gás e pressão parcial:
p_C = y_C\;P \quad\Rightarrow\quad y_{C,\text{crit}}=\frac{0{,}24}{1{,}18}.
Calculemos y_{C,\text{crit}}:
y_{C,\text{crit}}=\frac{0{,}24}{1{,}18}\approx 0{,}2033898.
Antes de qualquer condensação, o número total de mols gasosos permanece constante porque a estequiometria dá 1+2\to3 (3 mols reagentes → 3 mols produtos), logo o fluxo molar total permanece F_{\text{tot}}=10+20=30\\ \mathrm{mol/min}. A produção de C é F_C=3F_{A0}X=30X, onde X é a conversão de A. Assim a fração molar de C no gás, antes da condensação, é
y_C = \frac{F_C}{F_{\text{tot}}}=\frac{30X}{30}=X.
Logo a condensação começa quando X alcança y_{C,\text{crit}}. Portanto
X_{\text{cond}}=y_{C,\text{crit}}=\frac{0{,}24}{1{,}18}\approx 0{,}2033898.

Passo 3

Determinar a conversão global final X_{\text{tot}} (após os dois PFRs) usando a vazão molar de líquido dada.
Balance de C: total de C produzido é F_{C,\text{prod}}=3F_{A0}X_{\text{tot}}=30X_{\text{tot}}. Parte fica em fase gasosa F_{C,g} e parte condensou F_{C,\ell}=22{,}5\\ \mathrm{mol/min}:
F_{C,g}=30X_{\text{tot}}-22{,}5.
Fluxos gasosos de A e B ao final (fase gasosa) são:
F_{A,g}=10(1-X_{\text{tot}}),\qquad F_{B,g}=20-20X_{\text{tot}}.
Logo o total de mols na fase gasosa ao final é
F_{g}=F_{A,g}+F_{B,g}+F_{C,g}=(10-10X_{\text{tot}})+(20-20X_{\text{tot}})+(30X_{\text{tot}}-22{,}5).
Simplificando:
F_{g}=30 -30X_{\text{tot}} +30X_{\text{tot}} -22{,}5 = 30 -22{,}5 = 7{,}5\\ \mathrm{mol/min}.
Obs.: este valor é independente de X_{\text{tot}} por cancelamento estequiométrico — uma boa propriedade a notar.
A fração molar de C na fase gasosa ao final é então
y_{C,\text{final}}=\frac{F_{C,g}}{F_{g}}=\frac{30X_{\text{tot}}-22{,}5}{7{,}5}=4X_{\text{tot}}-3.
Mas depois de iniciada a condensação a pressão parcial de C fica igual ao valor de equilíbrio 0{,}24\\ \mathrm{atm}, portanto
y_{C,\text{final}}=y_{C,\text{crit}}=\frac{0{,}24}{1{,}18}.
Assim
4X_{\text{tot}}-3 = \frac{0{,}24}{1{,}18}.
Resolva para X_{\text{tot}}:
X_{\text{tot}}=\frac{3+\dfrac{0{,}24}{1{,}18}}{4}=\frac{3{,}2033898}{4}\approx 0{,}80084745.
Portanto a conversão total do sistema (após os dois PFRs, com condensação ocorrendo em parte do sistema) é X_{\text{tot}}\approx 0{,}80085.

Passo 4

Religar conversão com volume/residência para PFRs (aumentando a intuição e mostrando a fórmula que se usa numa prova).
Explicação didática:
  • Em regime isobárico e isotérmico, para gás ideal a vazão volumétrica v é proporcional ao fluxo molar total F_{\text{tot}} por v = F_{\text{tot}}RT/P. Antes da condensação F_{\text{tot}} é constante (igual a 30), então v é constante ao longo do PFR enquanto não houver condensação.
  • Para uma reação de primeira ordem em A ( r_A = -k C_A), num PFR com vazão volumétrica constante tem-se que a concentração de A decai exponencialmente com o tempo de residência \tau:
C_A(\tau)=C_{A0}e^{-k\tau}.
  • Como F_A = C_A v e F_{A0}=C_{A0}v, segue
F_A=F_{A0}e^{-k\tau}\quad\Rightarrow\quad X = 1-\frac{F_A}{F_{A0}}=1-e^{-k\tau}.
  • Aqui \tau=V/v é o tempo de residência cumulativo (volume do(s) PFRs dividido pela vazão volumétrica). Como v é constante antes da condensação, fração de volume é igual à fração de tempos de residência.
Portanto a relação inversa é
\tau = -\frac{1}{k}\ln(1-X).

Passo 5

Calcular os tempos de residência correspondentes a X_{\text{cond}} e X_{\text{tot}} e obter a fração de volume sem condensação.
Tempo até iniciar condensação:
\tau_{\text{cond}}=-\frac{1}{k}\ln(1-X_{\text{cond}})=-\frac{1}{0{,}3}\ln(1-0{,}2033898).
Calcule:
1-X_{\text{cond}}=0{,}7966102,\qquad -\ln(0{,}7966102)\approx 0{,}227120,
\tau_{\text{cond}}\approx\frac{0{,}227120}{0{,}3}\approx 0{,}75707\\ \mathrm{min}.
Tempo total do sistema (até X_{\text{tot}}):
\tau_{\text{tot}}=-\frac{1}{k}\ln(1-X_{\text{tot}})=-\frac{1}{0{,}3}\ln(1-0{,}80084745).
Calcule:
1-X_{\text{tot}}=0{,}19915255,\qquad -\ln(0{,}19915255)\approx 1{,}614103,
\tau_{\text{tot}}\approx\frac{1{,}614103}{0{,}3}\approx 5{,}380344\\ \mathrm{min}.
Fraçao do volume total sem condensação (igual à razão dos tempos de residência, já que vazão volumétrica é constante antes da condensação):
\text{fração}=\frac{\tau_{\text{cond}}}{\tau_{\text{tot}}}=\frac{0{,}75707}{5{,}380344}\approx 0{,}1407.çã
Convertendo para porcentagem:
\text{percentual}\approx 14{,}07\%.

Resposta

14{,}07\%

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