Questāo 2(5,0)

Considere a reação gasosa irreversível e elementar \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}+\mathrm{C}, conduzida de forma isotérmica e isobárica. A alimentação inicial ( F A_{0} ) é de 100 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} de A, com concentração de entrada de 1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. A corrente é dividida para alimentar três reatores: Reator 1 (V1): CSTR com tempo de residência de 3 min , recebe 40 \% de \mathrm{FA}_{0}; Reator 2 (V2): CSTR com tempo de residência de 2 min , recebe 30 \% de \mathrm{FA}_{0}; Reator 3 (V3): PFR com tempo de residência de 1 min , recebe 30 \% de \mathrm{FA}_{0}. As correntes de saída dos três reatores sāo misturadas e enviadas a um quarto reator PFR final (V4), que completa a conversão até um valor desejado X f=0,85. A constante de velocidade da reaçāo é k=0,6 \mathrm{~min}^{-1} e a cinética é de 1^{8} ordem em A. a) Calcule a conversão na entrada de V4; b) com base nos volumes dos reatores em paralelo e do PFR final, qual será o volume total mínimo necessário para a reação alcançar a conversão de 0,85 e (avalie as possibilidades de configuraçāo do sistema)? Justifique a resposta b).

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Dados do processo:
    • Reação: \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C} irreversível, isotérmica e isobárica.
    • Cinética: ordem 1 em A, constante k=0,6\\ \mathrm{min}^{-1}.
    • Alimentação total de A: F_{A0}=100\\ \mathrm{mol/min}.
    • Concentração de entrada: C_0=1\\ \mathrm{mol/L}.
    • A corrente é dividida em três ramos:
      • Reator 1 (V1): CSTR, tempo de residência \tau_1=3\\ \mathrm{min}, recebe 40\% de F_{A0}.
      • Reator 2 (V2): CSTR, tempo de residência \tau_2=2\\ \mathrm{min}, recebe 30\% de F_{A0}.
      • Reator 3 (V3): PFR, tempo de residência \tau_3=1\\ \mathrm{min}, recebe 30\% de F_{A0}.
    • As três correntes de saída são misturadas e alimentam um PFR final (V4) que leva a conversão final desejada X_f=0,85.
  • Quantidades auxiliares que se obtêm do enunciado:
    • Vazões molares de A em cada ramo: F_{A1}=0,40\cdot100=40\\ \mathrm{mol/min},\quad F_{A2}=0,30\cdot100=30\\ \mathrm{mol/min},\quad F_{A3}=30\\ \mathrm{mol/min}.
    • Como C_0=1\\ \mathrm{mol/L}, as vazões volumétricas são iguais numericamente às vazões molares (em L/min): Q_1=40\\ \mathrm{L/min},\\ Q_2=30\\ \mathrm{L/min},\\ Q_3=30\\ \mathrm{L/min},\\ Q_\text{total}=100\\ \mathrm{L/min}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a conversão na entrada de V4 (isto é, a conversão depois da mistura dos três ramos, antes do último PFR).
    (b) Com base nos volumes dos reatores em paralelo e do PFR final, qual será o volume total mínimo necessário para a reação alcançar X_f=0,85; avaliar as possibilidades de configuração do sistema e justificar.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e derivações curtas).
  1. Definição de conversão:
X=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}=\frac{C_0-C}{C_0},
onde C é a concentração de A na saída do reator (em mol/L) e F_A=C\cdot Q é a vazão molar de A na corrente.
  1. Relações para reação de primeira ordem \;r_A=-k C_A.
  • Para um CSTR único em regime estacionário, balanço molar:
Q C_0 - Q C = V k C.
Definindo \tau=V/Q, isolamos C:
C=\frac{C_0}{1+k\tau}.
Logo a conversão em um CSTR é
X_\text{CSTR} = 1-\frac{1}{1+k\tau}=\frac{k\tau}{1+k\tau}.
(Explicação: a concentração no CSTR é uniforme e obtida da igualdade entrada - saída = reação.)
  • Para um PFR, o balanço diferencial \dfrac{dF_A}{dV}=r_A com F_A=C\cdot Q e r_A=-kC leva a
\frac{dC}{d\tau}=-k C \quad\Rightarrow\quad C=C_0 e^{-k\tau},
onde \tau é o tempo de residência no PFR. Assim a conversão é
X_\text{PFR}=1-e^{-k\tau}.
(Explicação: a concentração decresce exponencialmente ao longo do PFR.)
  1. Para misturar correntes (mistura perfeita) conservam-se as vazões molares de A e os volumes: concentração misturada
C_\text{mix}=\frac{\sum_i Q_i C_i}{\sum_i Q_i}.
Com Q_\text{total}=100\\ \mathrm{L/min}, a conversão na mistura é X_\text{mix}=1-C_\text{mix}/C_0.
  1. Volume do reator: V=\tau Q.
  2. Para calcular o volume de um PFR que eleva a conversão de um valor inicial X_{in} até X_f tratando vazão volumétrica Q, usamos a propriedade exponencial:
1-X_f=(1-X_{in})e^{-k\tau_4}\quad\Rightarrow\quad \tau_4=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1-X_{in}}{1-X_f}\right),
e então V_4=Q\tau_4.
Observação metodológica: para reatores com cinética de primeira ordem, um PFR puro é o mais eficiente (menor volume) para uma dada conversão, enquanto um CSTR único demanda mais volume; múltiplos CSTRs em série aproximam um PFR conforme o número cresce.

Passo 3

Calcular as conversões nos três reatores paralelos (usar as fórmulas deduzidas).
  • Reator 1 (CSTR, \tau_1=3\\ \mathrm{min}):
k\tau_1=0,6\cdot3=1,8,\qquad X_1=\frac{k\tau_1}{1+k\tau_1}=\frac{1,8}{1+1,8}=\frac{1,8}{2,8}=0,642857\ldots
Logo X_1\approx0,642857.
  • Reator 2 (CSTR, \tau_2=2\\ \mathrm{min}):
k\tau_2=0,6\cdot2=1,2,\qquad X_2=\frac{1,2}{1+1,2}=\frac{1,2}{2,2}=0,5454545\ldots
Logo X_2\approx0,545455.
  • Reator 3 (PFR, \tau_3=1\\ \mathrm{min}):
X_3=1-e^{-k\tau_3}=1-e^{-0,6\cdot1}=1-e^{-0,6}=1-0,5488116\ldots=0,451188\ldots
Logo X_3\approx0,451188.

Passo 4

Concentrações de saída de A dos três ramos e mistura.
  • Como C_0=1\\ \mathrm{mol/L}, as concentrações de saída são C_i=C_0(1-X_i)=1-X_i:
C_1=1-0,642857=0,357143\\ \mathrm{mol/L},
C_2=1-0,545455=0,454545\\ \mathrm{mol/L},
C_3=1-0,451188=0,548812\\ \mathrm{mol/L}.
  • Vazões volumétricas: Q_1=40,\\ Q_2=30,\\ Q_3=30 (L/min). Molaridades multiplicadas pelas vazões dão as vazões molares de A após cada reator:
F_{A1,out}=Q_1 C_1=40\cdot0,357143=14,285714\\ \mathrm{mol/min},
F_{A2,out}=30\cdot0,454545=13,636364\\ \mathrm{mol/min},
F_{A3,out}=30\cdot0,548812=16,464349\\ \mathrm{mol/min}.
  • Vazão molar total de A na mistura:
F_{A,\text{mix}}=14,285714+13,636364+16,464349=44,386427\\ \mathrm{mol/min}.
  • Conversão na mistura (entrada de V4):
X_\text{in}=1-\frac{F_{A,\text{mix}}}{F_{A0}}=1-\frac{44,386427}{100}=0,5561357\ldots
Portanto, X_\text{in}\approx0,556136 (ou 55{,}61\%).

Passo 5

Volumes dos três reatores paralelos (usando V=\tau Q).
V_1=\tau_1 Q_1=3\cdot40=120\\ \mathrm{L},
V_2=\tau_2 Q_2=2\cdot30=60\\ \mathrm{L},
V_3=\tau_3 Q_3=1\cdot30=30\\ \mathrm{L}.
Soma dos volumes em paralelo:
V_{\text{paralelo}}=120+60+30=210\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Volume necessário do PFR final V_4 para levar a conversão de X_\text{in} a X_f=0,85.
  • A fórmula (vista no Passo 2):
\tau_4=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1-X_\text{in}}{1-X_f}\right).
Substituindo X_\text{in}=0,5561357 e X_f=0,85:
1-X_\text{in}=0,4438643,\quad 1-X_f=0,15,
\tau_4=\frac{1}{0,6}\ln\!\left(\frac{0,4438643}{0,15}\right) =\frac{1}{0,6}\ln(2,9590953)=1,6666667\cdot1,084643\ldots=1,80774\\ \mathrm{min}.
Volume V_4 (tratando Q_\text{total}=100\\ \mathrm{L/min}):
V_4=Q_\text{total}\tau_4=100\cdot1,80774=180,774\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Volume total do sistema tal como descrito (três reatores em paralelo + PFR final).
V_\text{total, dado}=V_{\text{paralelo}}+V_4=210+180,774=390,774\\ \mathrm{L}.
Arredondando, V_\text{total, dado}\approx390,8\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Volume mínimo possível para alcançar X_f=0,85 — comparação de configurações e justificativa.
  • Volume mínimo teórico para a mesma corrente total ocorre usando um único PFR que trate toda a alimentação desde X=0 até X=0,85. Para um PFR com primeira ordem:
\tau_\text{PFR,único}=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{1-X_f}\right) =\frac{1}{0,6}\ln\!\left(\frac{1}{0,15}\right) =1,6666667\cdot\ln(6,6666667)=1,6666667\cdot1,897119985=3,16187\\ \mathrm{min}.ú
Volume:
V_\text{PFR,único}=Q_\text{total}\tau_\text{PFR,único}=100\cdot3,16187=316,187\\ \mathrm{L}.úú
Portanto, o volume mínimo possível (entre as configurações praticáveis que respeitam a física da cinética) é
V_\text{mínimo}=316,19\\ \mathrm{L}\\ (\text{aprox.}).í
  • Comparações rápidas que justificam a escolha:
    • O PFR é mais eficiente (menor volume) que um CSTR para reação de primeira ordem porque o PFR mantém concentrações mais altas ao longo do reator, o que dá maior taxa instantânea média. Assim o PFR único requer 316{,}19\\ \mathrm{L}, enquanto a configuração dada (paralelo + PFR final) requer 390{,}77\\ \mathrm{L} — claramente maior.
    • Um único CSTR que tratasse todo o fluxo até X_f=0,85 exigiria muito mais volume: \tau_\text{CSTR}=\frac{X_f}{k(1-X_f)}=\frac{0,85}{0,6\cdot0,15}=9,44444\\ \mathrm{min},
V_\text{CSTR único}=100\cdot9,44444=944,444\\ \mathrm{L},ú
bem maior que as outras opções.
  • Múltiplos CSTRs em série podem aproximar o comportamento do PFR e reduzir o volume em relação a um único CSTR, mas para primeira ordem o melhor (menor volume) continua sendo o PFR ideal. Portanto o volume mínimo realista é obtido tratando todo o fluxo em um PFR único.
  • Conclusão da análise de configurações:
    • Configuração dada (3 ramos em paralelo com tipos e tempos dados + PFR final): V_\text{total}\approx390,8\\ \mathrm{L}.
    • Configuração mais eficiente (mínimo volume): um único PFR tratando todo o fluxo desde o início até X_f=0,85: V_\text{mínimo}\approx316,2\\ \mathrm{L}í.
    • Se for necessário manter reatores em paralelo por razões operacionais, a configuração dada consome mais volume do que o ideal; reduzir a fragmentação do fluxo e usar PFR é a opção para minimizar volume.

Resposta

(a) X_\text{in}=0,556136 (aprox. 55{,}61\%).
(b) Volume total mínimo possível V_\text{mínimo}\approx316,19\\ \mathrm{L}.í (Para a configuração dada — três reatores em paralelo + PFR final — o volume total será V_\text{total}\approx390,77\\ \mathrm{L}; um único CSTR exigiria \approx944,44\\ \mathrm{L}, mostrando que o PFR único é a configuração mais eficiente em volume.)

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