Considere uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisão,
. O segundo objeto, de massa
, tem velocidade
antes da colisão. Após a colisão, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
com o eixo
.
Determine a velocidade
, em termos de
e
.
Determine a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de colisão totalmente elástica entre dois objetos. A gente vai usar conceitos de física, como conservação de momento e conservação de energia cinética, pra descobrir a velocidade final $ v_1 $ do objeto de massa $ m $ após a colisão. Precisamos das massas $ m $ e $ M $, da velocidade inicial $ v $ e do ângulo $ \theta $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão totalmente elástica, duas coisas são conservadas: o momento linear e a energia cinética. O momento linear é a quantidade de movimento de um objeto, que depende da massa e da velocidade. A conservação do momento nos dá duas equações, uma para a direção $ x $ e outra para a direção $ y $. Além disso, a conservação da energia cinética nos dá uma terceira equação.
Passo 3
Vamos anotar os dados:
-
Antes da colisão:
- Objeto $ m $: velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $
- Objeto $ M $: velocidade $ \vec{u} = \frac{v}{2} \hat{x} $
-
Após a colisão:
- Objeto $ m $: velocidade $ \vec{v}_1 = -v_1 \hat{y} $
- Objeto $ M $: velocidade $ \vec{v}_2 $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $
Passo 4
Vamos aplicar a conservação do momento na direção $ x $. Antes da colisão, o momento total na direção $ x $ é:
Após a colisão, o objeto $ m $ está se movendo na direção $ y $, então só o objeto $ M $ contribui para o momento na direção $ x $:
Pela conservação do momento:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a conservação do momento na direção $ y $. Antes da colisão, não havia movimento na direção $ y $, então o momento total nessa direção é zero. Depois da colisão, o objeto $ m $ tem momento na direção $ y $ e o objeto $ M $ também tem componente na direção $ y $:
Portanto:
Passo 6
Por fim, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão é:
Depois da colisão:
Igualando as energias:
Resposta
Resolvendo as equações acima, chegamos à velocidade $ v_1 $ em termos de $ m $, $ M $, $ v $ e $ \theta $: