Considere uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m, tem velocidade, antes da colisão, v=v x. O segundo objeto, de massa M, tem velocidade (v / 2) x antes da colisão. Após a colisão, o objeto de massa m passa a ter velocidade v1=-v1 y e o objeto de massa M passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta com o eixo x.
Determine a velocidade v1, em termos de m, M, v e theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de colisão totalmente elástica entre dois objetos. A gente vai usar conceitos de física, como conservação de momento e conservação de energia cinética, pra descobrir a velocidade final $ v_1 $ do objeto de massa $ m $ após a colisão. Precisamos das massas $ m $ e $ M $, da velocidade inicial $ v $ e do ângulo $ \theta $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão totalmente elástica, duas coisas são conservadas: o momento linear e a energia cinética. O momento linear é a quantidade de movimento de um objeto, que depende da massa e da velocidade. A conservação do momento nos dá duas equações, uma para a direção $ x $ e outra para a direção $ y $. Além disso, a conservação da energia cinética nos dá uma terceira equação.

Passo 3

Vamos anotar os dados:
  • Antes da colisão:
    • Objeto $ m $: velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $
    • Objeto $ M $: velocidade $ \vec{u} = \frac{v}{2} \hat{x} $
  • Após a colisão:
    • Objeto $ m $: velocidade $ \vec{v}_1 = -v_1 \hat{y} $
    • Objeto $ M $: velocidade $ \vec{v}_2 $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $

Passo 4

Vamos aplicar a conservação do momento na direção $ x $. Antes da colisão, o momento total na direção $ x $ é:
x
Após a colisão, o objeto $ m $ está se movendo na direção $ y $, então só o objeto $ M $ contribui para o momento na direção $ x $:
x
Pela conservação do momento:
pxantes = m v + M ( v2 )

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação do momento na direção $ y $. Antes da colisão, não havia movimento na direção $ y $, então o momento total nessa direção é zero. Depois da colisão, o objeto $ m $ tem momento na direção $ y $ e o objeto $ M $ também tem componente na direção $ y $:
y
Portanto:
y

Passo 6

Por fim, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão é:
KEantes = 12 m v^2 + 12 M ( v2 )^2
Depois da colisão:
KEdepois = 12 m v1^2 + 12 M v2^2
Igualando as energias:
12 m v^2 + 12 M ( v2 )^2 = 12 m v1^2 + 12 M v2^2

Resposta

Resolvendo as equações acima, chegamos à velocidade $ v_1 $ em termos de $ m $, $ M $, $ v $ e $ \theta $:
v1

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