Mostre que a altura máxima alcançada por um projéctil é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai mostrar que a altura máxima que um projétil pode alcançar é dada por $ y_{\max }=\frac{\left(v_{0} \sin \theta_{0}\right)^{2}}{2 g} $. O conteúdo aqui envolve um pouco de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as velocidades iniciais no movimento vertical e a aceleração da gravidade influenciam a trajetória do projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no movimento vertical do projétil. Quando ele é lançado, a velocidade inicial na direção vertical é $ v_{0} \sin \theta_{0} $, onde $ v_{0} $ é a velocidade inicial e $ \theta_{0} $ é o ângulo de lançamento.
Passo 3
A ideia é encontrar o ponto mais alto da trajetória, onde a velocidade vertical do projétil é zero. Usamos a equação de movimento que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento:
Aqui, $ v $ é a velocidade final (que será zero no ponto mais alto), $ v_{0} $ é a velocidade inicial na vertical, e $ a $ é a aceleração (que, por causa da gravidade, é $ -g $).
Passo 4
Configurando a equação para o ponto mais alto:
Resolvendo para o tempo $ t $ que leva para atingir a altura máxima:
Passo 5
Agora, para encontrar a altura máxima $ y_{\max} $, usamos a equação de deslocamento:
Substituindo $ a $ por $ -g $ e o valor de $ t $ que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A altura máxima alcançada pelo projétil é