Mostre que a altura máxima alcançada por um projéctil é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai mostrar que a altura máxima que um projétil pode alcançar é dada por $ y_{\max }=\frac{\left(v_{0} \sin \theta_{0}\right)^{2}}{2 g} $. O conteúdo aqui envolve um pouco de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as velocidades iniciais no movimento vertical e a aceleração da gravidade influenciam a trajetória do projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no movimento vertical do projétil. Quando ele é lançado, a velocidade inicial na direção vertical é $ v_{0} \sin \theta_{0} $, onde $ v_{0} $ é a velocidade inicial e $ \theta_{0} $ é o ângulo de lançamento.

Passo 3

A ideia é encontrar o ponto mais alto da trajetória, onde a velocidade vertical do projétil é zero. Usamos a equação de movimento que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento:
v = v0 + a t
Aqui, $ v $ é a velocidade final (que será zero no ponto mais alto), $ v_{0} $ é a velocidade inicial na vertical, e $ a $ é a aceleração (que, por causa da gravidade, é $ -g $).

Passo 4

Configurando a equação para o ponto mais alto:
0 = v0 sin theta0 - g t
Resolvendo para o tempo $ t $ que leva para atingir a altura máxima:
t

Passo 5

Agora, para encontrar a altura máxima $ y_{\max} $, usamos a equação de deslocamento:
ymax
Substituindo $ a $ por $ -g $ e o valor de $ t $ que encontramos:
y = v0 t + 12 a t^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
ymax = (v0 sin theta0)^2g - (v0 sin theta0)^22 g = (v0 sin theta0)^22 g

Resposta

A altura máxima alcançada pelo projétil é
ymax =(v0 sin theta0)^22 g

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