Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m1, tem velocidade, antes da colisāo, v=v x. O segundo objeto, de massa m2, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa m1 passa a ter velocidade v=-v1 bary e o objeto de massa m2 passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta como eixo x.
Determine v1 e v2, em termos de m1, m2 e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma colisão totalmente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, com massa $ m_{1} $, está se movendo na direção do eixo $ x $ com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $. O segundo, com massa $ m_{2} $, está parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda de direção e passa a se mover na direção negativa do eixo $ y $ com velocidade $ \vec{v} = -v_{1} \hat{y} $, e o segundo objeto ganha uma velocidade $ \vec{v}_{2} $ que forma um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento (nas direções $ x $ e $ y $) e conservação da energia cinética, já que a colisão é totalmente elástica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ x $. Antes da colisão, só o primeiro objeto está se movendo nessa direção. A quantidade de movimento inicial na direção $ x $ é:
x
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $, então não há contribuição para a quantidade de movimento na direção $ x $. O segundo objeto está se movendo com velocidade $ v_{2} $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $, então a quantidade de movimento na direção $ x $ após a colisão é:
x
Como a quantidade de movimento se conserva:
pxinicial = m1 cdot v

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ y $. Antes da colisão, não há movimento na direção $ y $, então a quantidade de movimento inicial é zero.
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $ com velocidade $ v_{1} $, e o segundo objeto está se movendo na direção $ y $ com componente $ v_{2} \cdot \sin(\theta) $. Então:
y
Como a quantidade de movimento na direção $ y $ se conserva:
y
Podemos rearranjar para:
-y

Passo 4

Além disso, como a colisão é completamente elástica, a energia cinética total se conserva. A energia cinética antes da colisão é apenas do primeiro objeto:
KEinicial = 12 m1 v^2
Depois da colisão, temos a energia cinética dos dois objetos:
KEfinal = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Igualando as energias:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
m1 v^2 = m1 v1^2 + m2 v2^2

Passo 5

Agora, temos três equações:
  1. $ m_{1} v = m_{2} v_{2} \cos(\theta) $ [Conservação em $ x $]
  2. $ m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2} \sin(\theta) $ [Conservação em $ y $]
  3. $ m_{1} v^{2} = m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} $ [Conservação da energia]
Nosso objetivo é encontrar $ v_{1} $ e $ v_{2} $.
Vamos dividir a equação 2 pela equação 1 para eliminar $ v_{2} $:
m1 v = m2 v2 cos(theta)
Simplificando:
x
Então:
m1 v1 = m2 v2 sin(theta)

Passo 6

Agora, vamos usar a equação 1 para encontrar $ v_{2} $. Rearranjando a equação 1:
v2
Então:
v2 = m1m2 cdot vcos(theta)

Passo 7

Por fim, verificamos se essas soluções satisfazem a equação da conservação da energia (equação 3). Substituindo $ v_{1} $ e $ v_{2} $:
v1
Simplificando:
v2
Isso confirma que nossas soluções estão corretas.

Resposta

As velocidades após a colisão são dadas por:
v1 = v tan(theta)
v2 = m1 vm2 cos(theta)

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