Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisāo,
. O segundo objeto, de massa
, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
como eixo
.
Determine
e
, em termos de
e
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma colisão totalmente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, com massa $ m_{1} $, está se movendo na direção do eixo $ x $ com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $. O segundo, com massa $ m_{2} $, está parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda de direção e passa a se mover na direção negativa do eixo $ y $ com velocidade $ \vec{v} = -v_{1} \hat{y} $, e o segundo objeto ganha uma velocidade $ \vec{v}_{2} $ que forma um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento (nas direções $ x $ e $ y $) e conservação da energia cinética, já que a colisão é totalmente elástica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ x $. Antes da colisão, só o primeiro objeto está se movendo nessa direção. A quantidade de movimento inicial na direção $ x $ é:
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $, então não há contribuição para a quantidade de movimento na direção $ x $. O segundo objeto está se movendo com velocidade $ v_{2} $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $, então a quantidade de movimento na direção $ x $ após a colisão é:
Como a quantidade de movimento se conserva:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ y $. Antes da colisão, não há movimento na direção $ y $, então a quantidade de movimento inicial é zero.
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $ com velocidade $ v_{1} $, e o segundo objeto está se movendo na direção $ y $ com componente $ v_{2} \cdot \sin(\theta) $. Então:
Como a quantidade de movimento na direção $ y $ se conserva:
Podemos rearranjar para:
Passo 4
Além disso, como a colisão é completamente elástica, a energia cinética total se conserva. A energia cinética antes da colisão é apenas do primeiro objeto:
Depois da colisão, temos a energia cinética dos dois objetos:
Igualando as energias:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, temos três equações:
- $ m_{1} v = m_{2} v_{2} \cos(\theta) $ [Conservação em $ x $]
- $ m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2} \sin(\theta) $ [Conservação em $ y $]
- $ m_{1} v^{2} = m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} $ [Conservação da energia]
Nosso objetivo é encontrar $ v_{1} $ e $ v_{2} $.
Vamos dividir a equação 2 pela equação 1 para eliminar $ v_{2} $:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação 1 para encontrar $ v_{2} $. Rearranjando a equação 1:
Então:
Passo 7
Por fim, verificamos se essas soluções satisfazem a equação da conservação da energia (equação 3). Substituindo $ v_{1} $ e $ v_{2} $:
Simplificando:
Isso confirma que nossas soluções estão corretas.
Resposta
As velocidades após a colisão são dadas por: