Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m1, tem velocidade, antes da colisāo, v=v x. O segundo objeto, de massa m2, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa m1 passa a ter velocidade v=-v1 bary e o objeto de massa m2 passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta como eixo x.
Determine a velocidade v2, em termos de m1, m2, v e theta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto tem massa $ m_1 $ e está se movendo com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $ (ou seja, na direção do eixo $ x $). O segundo objeto, com massa $ m_2 $, está parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda sua direção e passa a se mover na direção oposta do eixo $ y $ com velocidade $ \vec{v} = -v_1 \hat{y} $. O segundo objeto ganha uma velocidade $ \vec{v}_2 $ que faz um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $.
Vamos precisar usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento (tanto nas direções $ x $ quanto $ y $) e conservação da energia cinética porque a colisão é completamente elástica. Nosso objetivo é encontrar a velocidade $ v_2 $ do segundo objeto em termos de $ m_1, m_2, v $ e $ \theta $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ x $. A quantidade de movimento antes da colisão na direção $ x $ é só do primeiro objeto, já que o segundo está parado. Depois da colisão, ambos os objetos podem ter componentes na direção $ x $.
A quantidade de movimento na direção $ x $ antes da colisão:
x
Depois da colisão, o primeiro objeto não tem mais componente na direção $ x $ (já que está se movendo somente na direção $ y $), e o segundo objeto tem uma componente na direção $ x $ de $ v_2 \cos(\theta) $. Então, a quantidade de movimento na direção $ x $ depois da colisão é:
x
Pela conservação:
x
x
m1 v
Mas vamos deixar essa equação para usar depois. Precisamos também considerar a direção $ y $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ y $. Antes da colisão, nenhum dos objetos está se movendo na direção $ y $, então a quantidade de movimento total na direção $ y $ é zero.
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $ com velocidade $ v_1 $, e o segundo objeto tem uma componente na direção $ y $ de $ v_2 \sin(\theta) $. Então:
y
y
y
Agora temos duas equações envolvendo $ v_1 $ e $ v_2 $. Vamos precisar de mais uma equação, que vem da conservação da energia cinética.

Passo 4

Como a colisão é completamente elástica, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma.
A energia cinética antes da colisão:
12 m1 v^2
Depois da colisão:
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Igualando as energias:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
m1 v^2 = m1 v1^2 + m2 v2^2
Agora, substituímos $ v_1 $ da equação anterior:
v1
m1 v^2 = m1 ( m2 v2 sin(theta)m1 )^2 + m2 v2^2

Passo 5

Vamos resolver a equação para $ v_2 $. Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por $ m_1 $ para eliminar o denominador:
v2
Fatorando $ v_2^2 $ no lado direito:
m1
Agora, isolamos $ v_2^2 $:
m1^2 v^2 = m2^2 v2^2 sin^2(theta) + m1 m2 v2^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_2 $:
v2^2
Podemos simplificar um pouco mais fatorando $ m_2 $:
m1^2 v^2 = v2^2 (m2^2 sin^2(theta) + m1 m2)
v2^2

Resposta

A velocidade $ v_2 $ do segundo objeto é:
v2

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