Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisāo,
. O segundo objeto, de massa
, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
como eixo
.
Determine a velocidade
, em termos de
e
.
Determine a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma colisão completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto tem massa $ m_1 $ e está se movendo com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $ (ou seja, na direção do eixo $ x $). O segundo objeto, com massa $ m_2 $, está parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda sua direção e passa a se mover na direção oposta do eixo $ y $ com velocidade $ \vec{v} = -v_1 \hat{y} $. O segundo objeto ganha uma velocidade $ \vec{v}_2 $ que faz um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $.
Vamos precisar usar os conceitos de conservação da quantidade de movimento (tanto nas direções $ x $ quanto $ y $) e conservação da energia cinética porque a colisão é completamente elástica. Nosso objetivo é encontrar a velocidade $ v_2 $ do segundo objeto em termos de $ m_1, m_2, v $ e $ \theta $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ x $. A quantidade de movimento antes da colisão na direção $ x $ é só do primeiro objeto, já que o segundo está parado. Depois da colisão, ambos os objetos podem ter componentes na direção $ x $.
A quantidade de movimento na direção $ x $ antes da colisão:
Depois da colisão, o primeiro objeto não tem mais componente na direção $ x $ (já que está se movendo somente na direção $ y $), e o segundo objeto tem uma componente na direção $ x $ de $ v_2 \cos(\theta) $. Então, a quantidade de movimento na direção $ x $ depois da colisão é:
Pela conservação:
Mas vamos deixar essa equação para usar depois. Precisamos também considerar a direção $ y $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento na direção $ y $. Antes da colisão, nenhum dos objetos está se movendo na direção $ y $, então a quantidade de movimento total na direção $ y $ é zero.
Depois da colisão, o primeiro objeto está se movendo na direção $ -y $ com velocidade $ v_1 $, e o segundo objeto tem uma componente na direção $ y $ de $ v_2 \sin(\theta) $. Então:
Agora temos duas equações envolvendo $ v_1 $ e $ v_2 $. Vamos precisar de mais uma equação, que vem da conservação da energia cinética.
Passo 4
Como a colisão é completamente elástica, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma.
A energia cinética antes da colisão:
Depois da colisão:
Igualando as energias:
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
Agora, substituímos $ v_1 $ da equação anterior:
Passo 5
Vamos resolver a equação para $ v_2 $. Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por $ m_1 $ para eliminar o denominador:
Fatorando $ v_2^2 $ no lado direito:
Agora, isolamos $ v_2^2 $:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_2 $:
Podemos simplificar um pouco mais fatorando $ m_2 $:
Resposta
A velocidade $ v_2 $ do segundo objeto é: