Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustivel, e o combustivel tém massas m=40 kg e mc=10 kg, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao selu movimento com uma velocidade relativa vr=10 m / s, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustivel. Suponha que o foguete libere o combustível de forma linear, ou seja, M(t)=(m+mc)(1-tT), onde M(t) é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo t qualquer e T é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Determine a velocidade do foguete em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que está viajando na horizontal. Ele pesa 40 kg sem combustível e tem mais 10 kg de combustível. Esse foguete lança o combustível pra trás com uma velocidade constante de 10 m/s para se mover pra frente. A gente quer descobrir como a velocidade do foguete muda ao longo do tempo enquanto ele consome o combustível, levando 10 minutos (ou 600 segundos) para esvaziar todo o combustível. Para resolver isso, vamos usar a física da conservação do momento, que é fundamental para entender como motores de foguetes funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa total do foguete no começo é a soma da massa sem combustível mais a do combustível: $ M_0 = m + m_c = 40,kg + 10,kg = 50,kg $.

Passo 3

A massa do foguete ao longo do tempo está diminuindo porque ele está queimando combustível. A equação que descreve isso é:
M(t) = (m + mc)(1 - tT)
onde:
- $ M(t) $ é a massa no tempo $ t $,
- $ T $ é o tempo total para esvaziar o combustível, que é 600 segundos.
Então, substituindo os valores:
M(t)

Passo 4

A gente sabe que o foguete está lançando o combustível com uma velocidade relativa de $ v_r = 10,m/s $ em relação a ele. Segundo a conservação do momento, a variação de momento do foguete é igual ao momento do combustível que está sendo expelido.

Passo 5

Vamos usar a equação de conservação do momento para foguetes:
dvdt = vrM(t) dMdt
Aqui:
  • $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração do foguete,
  • $ \frac{dM}{dt} $ é a taxa de variação da massa, que nesse caso é negativa porque a massa está diminuindo.

Passo 6

Calculando $ \frac{dM}{dt} $:
dMdt

Passo 7

Substituindo $ \frac{dM}{dt} $ na equação da aceleração:
dMdt
dvdt = 10,m/s50,kg (1 - t600,s) (-112,kg/s)
dvdt = -1050 times 12 11 - t600
dvdt = -10600 11 - t600

Passo 8

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo. A equação fica:
integral dv = -160 integral 11 - t600 dt

Passo 9

Fazendo a substituição $ u = 1 - \frac{t}{600} $, então $ du = -\frac{1}{600} dt $, ou seja, $ dt = -600,du $. A integral fica:
u = 1 - t600
du = -1600 dt
Substituindo de volta $ u = 1 - \frac{t}{600} $:
dt = -600,du

Passo 10

Para encontrar a constante de integração $ C $, consideramos que no tempo $ t = 0 $, a velocidade inicial $ v(0) = 0 $ (assumindo que o foguete parte do repouso). Então:
C
t = 0
v(0) = 0

Passo 11

Portanto, a velocidade do foguete em função do tempo é:
v(t) = 10 ln(1 - t600)

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é:
v(t) = 10 ln(1 - t600) m/s

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