Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustivel, e o combustivel tém massas
e
, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao selu movimento com uma velocidade relativa
, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustivel. Suponha que o foguete libere o combustível de forma linear, ou seja,
, onde
é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo
qualquer e
é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Determine a velocidade do foguete em função do tempo.
Determine a velocidade do foguete em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que está viajando na horizontal. Ele pesa 40 kg sem combustível e tem mais 10 kg de combustível. Esse foguete lança o combustível pra trás com uma velocidade constante de 10 m/s para se mover pra frente. A gente quer descobrir como a velocidade do foguete muda ao longo do tempo enquanto ele consome o combustível, levando 10 minutos (ou 600 segundos) para esvaziar todo o combustível. Para resolver isso, vamos usar a física da conservação do momento, que é fundamental para entender como motores de foguetes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa total do foguete no começo é a soma da massa sem combustível mais a do combustível: $ M_0 = m + m_c = 40,kg + 10,kg = 50,kg $.
Passo 3
A massa do foguete ao longo do tempo está diminuindo porque ele está queimando combustível. A equação que descreve isso é:
onde:
- $ M(t) $ é a massa no tempo $ t $,
- $ T $ é o tempo total para esvaziar o combustível, que é 600 segundos.
Então, substituindo os valores:
Passo 4
A gente sabe que o foguete está lançando o combustível com uma velocidade relativa de $ v_r = 10,m/s $ em relação a ele. Segundo a conservação do momento, a variação de momento do foguete é igual ao momento do combustível que está sendo expelido.
Passo 5
Vamos usar a equação de conservação do momento para foguetes:
Aqui:
- $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração do foguete,
- $ \frac{dM}{dt} $ é a taxa de variação da massa, que nesse caso é negativa porque a massa está diminuindo.
Passo 6
Calculando $ \frac{dM}{dt} $:
Passo 7
Substituindo $ \frac{dM}{dt} $ na equação da aceleração:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo. A equação fica:
Passo 9
Fazendo a substituição $ u = 1 - \frac{t}{600} $, então $ du = -\frac{1}{600} dt $, ou seja, $ dt = -600,du $. A integral fica:
Substituindo de volta $ u = 1 - \frac{t}{600} $:
Passo 10
Para encontrar a constante de integração $ C $, consideramos que no tempo $ t = 0 $, a velocidade inicial $ v(0) = 0 $ (assumindo que o foguete parte do repouso). Então:
Passo 11
Portanto, a velocidade do foguete em função do tempo é:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é: