Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisāo,
. O segundo objeto, de massa
, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
como eixo
.
Determine o ângulo
, em termos de
e
.
Determine o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de colisão totalmente elástica entre dois objetos. O primeiro, com massa $ m_1 $, tá se movendo na direção $ x $ com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $. O segundo, com massa $ m_2 $, tá parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda de direção e passa a ter velocidade $ \vec{v}_1 = -v_1 \hat{y} $, e o segundo objeto começa a se mover formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $. A gente precisa descobrir esse ângulo $ \theta $ em função de $ m_1 $, $ m_2 $ e $ v $.
Para resolver isso, vamos usar duas leis básicas da física: a conservação do momento linear (que diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois) e a conservação da energia cinética (que, em colisões totalmente elásticas, também é conservada).
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento linear. O momento é uma grandeza vetorial, então a gente vai analisar as componentes nas direções $ x $ e $ y $ separadamente.
Antes da colisão:
- O primeiro objeto tem momento $ \vec{p}_1 = m_1 \vec{v} = m_1 v \hat{x} $.
- O segundo objeto está parado, então $ \vec{p}_2 = 0 $.
Depois da colisão:
- O primeiro objeto tem momento $ \vec{p}_1’ = m_1 \vec{v}_1 = m_1 (-v_1 \hat{y}) $.
- O segundo objeto tem momento $ \vec{p}_2’ = m_2 \vec{v}_2 $.
Vamos separar nas direções:
No eixo $ x $:
No eixo $ y $:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. A energia cinética total antes da colisão deve ser igual à energia cinética total depois.
Antes da colisão:
Depois da colisão:
Então:
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações que temos para encontrar $ \theta $.
Primeiro, da conservação do momento no eixo $ x $:
Da conservação do momento no eixo $ y $:
Agora, vamos usar a equação da conservação da energia cinética:
Dividindo tudo por $ m_2 $:
Agora substituímos $ v_2 $ da equação (3) nas equações (1) e (2).
Dividindo a equação (2) pela equação (1):
Resposta
O ângulo $ \theta $ é dado por: