Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m1, tem velocidade, antes da colisāo, v=v x. O segundo objeto, de massa m2, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa m1 passa a ter velocidade v=-v1 bary e o objeto de massa m2 passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta como eixo x.
Determine o ângulo theta, em termos de m1, m2 e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de colisão totalmente elástica entre dois objetos. O primeiro, com massa $ m_1 $, tá se movendo na direção $ x $ com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $. O segundo, com massa $ m_2 $, tá parado antes da colisão. Depois da colisão, o primeiro objeto muda de direção e passa a ter velocidade $ \vec{v}_1 = -v_1 \hat{y} $, e o segundo objeto começa a se mover formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $. A gente precisa descobrir esse ângulo $ \theta $ em função de $ m_1 $, $ m_2 $ e $ v $.
Para resolver isso, vamos usar duas leis básicas da física: a conservação do momento linear (que diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois) e a conservação da energia cinética (que, em colisões totalmente elásticas, também é conservada).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento linear. O momento é uma grandeza vetorial, então a gente vai analisar as componentes nas direções $ x $ e $ y $ separadamente.
Antes da colisão:
  • O primeiro objeto tem momento $ \vec{p}_1 = m_1 \vec{v} = m_1 v \hat{x} $.
  • O segundo objeto está parado, então $ \vec{p}_2 = 0 $.
Depois da colisão:
  • O primeiro objeto tem momento $ \vec{p}_1’ = m_1 \vec{v}_1 = m_1 (-v_1 \hat{y}) $.
  • O segundo objeto tem momento $ \vec{p}_2’ = m_2 \vec{v}_2 $.
Vamos separar nas direções:
No eixo $ x $:
x
No eixo $ y $:
y
Ou seja:
p1 = m1 v = m1 v x

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. A energia cinética total antes da colisão deve ser igual à energia cinética total depois.
Antes da colisão:
Energiainicial = 12 m1 v^2
Depois da colisão:
Energiafinal = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Então:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
m1 v^2 = m1 v1^2 + m2 v2^2

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações que temos para encontrar $ \theta $.
Primeiro, da conservação do momento no eixo $ x $:
theta
x
Da conservação do momento no eixo $ y $:
m1 v = m2 v2 costheta
costheta = m1 vm2 v2 (1)
Agora, vamos usar a equação da conservação da energia cinética:
y
Dividindo tudo por $ m_2 $:
m1 v1 = m2 v2 sintheta
sintheta = m1 v1m2 v2 (2)
m1 v^2 = m1 v1^2 + m2 v2^2
Agora substituímos $ v_2 $ da equação (3) nas equações (1) e (2).
Dividindo a equação (2) pela equação (1):
m2
m1m2 v^2 = m1m2 v1^2 + v2^2
v2^2 = m1m2 (v^2 - v1^2)

Resposta

O ângulo $ \theta $ é dado por:
theta

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