Considere uma coluna de gás no campo gravitacional. Calcule a altura
, determinada pela condição de que metade da massa da coluna está abaixo da cota
.
Passo 1
Beleza, tamo com uma coluna de gás parada num campo gravitacional (tipo a atmosfera de um planeta) e a ideia é encontrar a altura
tal que a massa de gás de 0 até
é exatamente metade da massa total da coluna (que vai de 0 até o infinito).
Conteúdo: equilíbrio hidrostático + lei dos gases ideais + integração para massa de coluna.
Conteúdo: equilíbrio hidrostático + lei dos gases ideais + integração para massa de coluna.
Passo 2
Primeiro, a gente lembra do equilíbrio hidrostático, que diz que a pressão cai conforme subimos, obedecendo
Aqui
é a pressão,
a densidade do gás em função da altura
e
a aceleração da gravidade (constante).
Passo 3
Também usamos a equação dos gases ideais na forma
onde
é a constante universal dos gases,
é a temperatura (assumida constante — isoterma) e
a massa molar do gás.
Passo 4
Substituindo
em
, a gente obtém:
Isso leva a
Integrando de
a
:
onde definimos o “comprimento de escala”
Passo 5
Agora queremos a massa por área da coluna de 0 até o infinito:
E a massa de 0 até
:
A condição “metade da massa” é
Simplificando (
):
Passo 6
Para achar
, basta tirar log:
Resposta
Ou seja, a altura onde fica metade da massa da coluna é igual ao comprimento de escala
multiplicado por
.