Considere uma coluna de gás no campo gravitacional. Calcule a altura Z, determinada pela condição de que metade da massa da coluna está abaixo da cota Z.

Passo 1

Beleza, tamo com uma coluna de gás parada num campo gravitacional (tipo a atmosfera de um planeta) e a ideia é encontrar a altura tal que a massa de gás de 0 até é exatamente metade da massa total da coluna (que vai de 0 até o infinito).
Conteúdo: equilíbrio hidrostático + lei dos gases ideais + integração para massa de coluna.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra do equilíbrio hidrostático, que diz que a pressão cai conforme subimos, obedecendo
dpdz = -rho(z),g
Aqui é a pressão, a densidade do gás em função da altura e a aceleração da gravidade (constante).

Passo 3

Também usamos a equação dos gases ideais na forma
p = rho ,R,TM
onde é a constante universal dos gases, é a temperatura (assumida constante — isoterma) e a massa molar do gás.

Passo 4

Substituindo ddzl(rho,R,TMr) = -rho,g Longrightarrow R,TM,drhodz = -rho,g em drhorho = -M,gR,T,dz , a gente obtém:
lnrho(z)rho0 = -M,gR,T,z Longrightarrow rho(z) = rho0,e^-z/H
Isso leva a
H = R,TM,g,
Integrando de a :
onde definimos o “comprimento de escala”

Passo 5

Agora queremos a massa por área da coluna de 0 até o infinito:
Mrm total = integral0^infty rho(z),dz = rho0 integral0^infty e^-z/H,dz = rho0,H
E a massa de 0 até M(Z) = integral0^Z rho0,e^-z/H,dz = rho0,H,l(1 - e^-Z/Hr) :
M(Z)=tfrac12,Mrm total Longrightarrow rho0,H,(1 - e^-Z/H) = tfrac12,rho0,H
A condição “metade da massa” é
1 - e^-Z/H = tfrac12 Longrightarrow e^-Z/H = tfrac12
Simplificando ( ):

Passo 6

Para achar -,ZH = lnl(tfrac12r) Longrightarrow Z = H,ln 2 , basta tirar log:

Resposta

boxedZ ;=; R,TM,g,ln 2
Ou seja, a altura onde fica metade da massa da coluna é igual ao comprimento de escala multiplicado por .

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