Considere uma comporta plana e vertical para a qual o tirante d’água a montante é \mathrm{y}_{1}=2,40 \mathrm{~m}. Determine qual deve ser a abertura b para que a vazão unitária seja q=2,33 \mathrm{~m}^{3} /(s . \mathrm{m}), em condições de veia livre. Com essa mesma altura, e mantida a carga a montante, qual deve ser a vazão unitária descarregada quando o tirante d’água a jusante da comporta for \mathrm{y}_{3}=1,80 \mathrm{~m} ? Adote como coeficiente de descarga \mathrm{Cc}=0,61 e despreze a carga cinética de aproximação da comporta.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos (não vou resolver ainda, só organizar tudo).
  • Dados fornecidos:
    • Tirante d’água a montante: y_{1}=2{,}40\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de descarga: C_{c}=0{,}61.
    • Aceleração da gravidade (uso padrão): g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Deseja-se vazão unitária (por metro de comprimento da comporta) inicial: q=2{,}33\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)} em condições de veia livre.
    • Depois, mantendo y_{1}=2{,}40\\ \mathrm{m} e mantendo a mesma carga a montante, é pedido a vazão unitária descarregada quando o tirante a jusante for y_{3}=1{,}80\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a abertura b (altura livre de passagem sob a comporta) tal que, em veia livre, a vazão unitária seja q=2{,}33\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)}.
    2. Com essa mesma abertura b e mantendo y_{1} igual, calcular a vazão unitária quando y_{3}=1{,}80\\ \mathrm{m}.
Observação importante (para o desenvolvimento): em veia livre a descarga é controlada pela queda entre a superfície montante e a região de vena contracta, enquanto quando a água a jusante sobe o suficiente a pressão de jusante atua e a velocidade é dada pela diferença de carga entre montante e jusante. Vou usar essas ideias para obter as fórmulas necessárias.

Passo 2

Explicar e deduzir a fórmula da vazão por unidade de comprimento através da abertura b em veia livre (aula rápida e intuitiva).
  • Ideia física: a água passa pela abertura formando uma seção contraída (vena contracta). A área efetiva da passagem (por unidade de comprimento) é A_c = C_{c}\,b, onde C_{c} é o coeficiente de contração/discarga dado (adianta-se que ele engloba a contração e efeitos na vazão por unidade de largura). A velocidade média nessa seção de contração é v_c. Então a vazão por unidade de largura é
    q = A_c\,v_c = C_{c}\,b\,v_c.
  • Agora a energia que acelera o fluido vem da diferença de carga entre a superfície livre montante e a posição onde a pressão é atmosférica (na vena contracta, no caso de veia livre). Aplicando Bernoulli entre a superfície livre montante (pressão atmosférica, cotada como referência) e o ponto da vena contracta, e desprezando a energia cinética de aproximação (conforme o enunciado), obtemos
    v_c = \sqrt{2g\,(y_{1}-y_{v})},
    onde y_{v} é a cota vertical do plano médio da seção onde a pressão é atmosférica. Para uma abertura vertical uniforme cuja seção contraída se situa aproximadamente na metade da altura da abertura, toma-se y_{v}\approx b/2. Essa aproximação é a usada em muitos problemas básicos de comporta (a centroidalização da queda). Assim,
    v_c \approx \sqrt{2g\left(y_{1}-\frac{b}{2}\right)}.
  • Substituindo em q obtemos a expressão usada para veia livre:
    \boxed{\,q = C_{c}\,b\,\sqrt{2g\left(y_{1}-\dfrac{b}{2}\right)}\,.}
    Aqui:
    • q é vazão por unidade de largura \mathrm{(m^{3}/(s\cdot m))},
    • C_{c} é coeficiente adimensional =0{,}61,
    • b é a abertura (m),
    • g é 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • y_{1} é o tirante montante (m).

Passo 3

Aplicar a fórmula da veia livre para encontrar b. Montamos a equação e simplificamos para resolver por métodos numéricos (vou mostrar o passo a passo para que dê para fazer na prova com um pouco de iteração).
Partimos de
q = C_{c}\,b\,\sqrt{2g\left(y_{1}-\frac{b}{2}\right)}.
Isolando e elevando ao quadrado:
\left(\frac{q}{C_{c}}\right)^{2} = b^{2}\,2g\left(y_{1}-\frac{b}{2}\right).
Desenvolvendo:
\left(\frac{q}{C_{c}}\right)^{2} = 2g\,y_{1}\,b^{2} - g\,b^{3}.
Reescrevendo como polinômio em b:
g\,b^{3} - 2g\,y_{1}\,b^{2} + \left(\frac{q}{C_{c}}\right)^{2} = 0.
Agora substituo os valores numéricos conhecidos:
g = 9{,}81,\qquad y_{1}=2{,}40,\qquad q=2{,}33,\qquad C_{c}=0{,}61.
Calculo intermediário:
\frac{q}{C_{c}}=\frac{2{,}33}{0{,}61}\approx 3{,}8196721,\qquad \left(\frac{q}{C_{c}}\right)^{2}\approx 14{,}590.
E
2g y_{1} = 2\cdot 9{,}81\cdot 2{,}40 = 47{,}088.
Logo a equação numérica é
9{,}81\,b^{3} - 47{,}088\,b^{2} + 14{,}590 \approx 0.
Para resolver essa cúbica para b (sabendo fisicamente que 0<b<y_{1}=2{,}40\\ \mathrm{m}), uso um método de bisseção/iteração simples (o que se faz numa prova sem calculadora: testar valores e aproximar). Vou mostrar os pontos de iteração essenciais:
  • Teste em b=0{,}5\\ \mathrm{m} dá valor positivo da função (portanto raiz maior que 0{,}5).
  • Teste em b=1{,}0\\ \mathrm{m} dá valor negativo (logo raiz entre 0{,}5 e 1{,}0).
  • Aproximações sucessivas por bisseção conduzem a uma raiz próxima de b\approx 0{,}595\\ \mathrm{m}.
Fazendo as contas com algumas iterações:
  • Em b=0{,}5945\\ \mathrm{m} a expressão fica praticamente nula (chegando a diferenças de ordem 10^{-3} no balanço), portanto tomo
\boxed{b \approx 0{,}595\\ \mathrm{m}.}

Passo 4

Verificação rápida física e conclusão do primeiro item.
  • O valor encontrado b\approx 0{,}595\\ \mathrm{m} é menor que y_{1}=2{,}40\\ \mathrm{m}, faz sentido físico (abertura não pode exceder o tirante).
  • Com esse b e coeficiente C_{c}=0{,}61 a vazão unitária em veia livre é a requisitada q=2{,}33\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)} (foi assim que escolhemos b).

Passo 5

Agora calcular a vazão unitária quando o tirante a jusante é y_{3}=1{,}80\\ \mathrm{m}, mantendo y_{1}=2{,}40\\ \mathrm{m} e a mesma abertura b. Primeiro explico a diferença de regimes e a fórmula apropriada (didática).
  • Se a superfície a jusante ficar alta o suficiente para atuar sobre a seção contraída (isto é, a pressão na região de contração deixa de ser atmosférica), a velocidade é controlada pela diferença de carga entre montante e jusante. Aplicando Bernoulli entre superfície montante e superfície jusante (ambas à pressão atmosférica) e desprezando a energia cinética de aproximação, a velocidade na vena contracta fica
    v_c = \sqrt{2g\,(y_{1}-y_{3})}.
    Isso pode ser visto facilmente: a energia disponível é a diferença de cotas das superfícies livres e transforma-se em energia cinética na contração, se a jusante houver água acima do nível da vena contracta (ou seja, se a jusante “submerge” a contração). Nesse caso a vazão por unidade de largura é
    \boxed{\,q = C_{c}\,b\,\sqrt{2g\,(y_{1}-y_{3})}\,}
    (note a diferença em relação à expressão de veia livre: aí o termo dentro da raiz era y_{1}-b/2; aqui é y_{1}-y_{3}.)
  • Antes de usar essa fórmula convém verificar qualitativamente que realmente existe ação da jusante (isto é, y_{3} suficientemente alta para submergir a região de contração). No nosso caso y_{3}=1{,}80\\ \mathrm{m} é bem maior que a meia-abertura b/2\approx 0{,}298\\ \mathrm{m}, portanto a jusante atua e o regime é submerso (a pressão na seção contraída responde à superfície de jusante). Logo a fórmula acima é aplicável.

Passo 6

Cálculo numérico da vazão submersa com os valores já obtidos.
Usando
q = C_{c}\,b\,\sqrt{2g\,(y_{1}-y_{3})},
substituo C_{c}=0{,}61, b=0{,}595\\ \mathrm{m} (valor do Passo 3), y_{1}-y_{3}=2{,}40-1{,}80=0{,}60\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calcule a raiz:
\sqrt{2g\,(y_{1}-y_{3})}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}60}=\sqrt{11{,}772}\approx 3{,}430\\ \mathrm{m/s}.
Agora
q = 0{,}61\cdot 0{,}595 \cdot 3{,}430 \approx 1{,}245\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas decimais, coerente com os dados):
\boxed{q \approx 1{,}25\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)}.}

Resposta

b \approx 0{,}595\\ \mathrm{m}
q_{\text{com }y_{3}=1{,}80\\ \mathrm{m}} \approx 1{,}25\\ \mathrm{m^{3}/(s\cdot m)}

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