Considere uma comporta plana e vertical para a qual o tirante d’água a montante é
. Determine qual deve ser a abertura b para que a vazão unitária seja
, em condições de veia livre. Com essa mesma altura, e mantida a carga a montante, qual deve ser a vazão unitária descarregada quando o tirante d’água a jusante da comporta for
? Adote como coeficiente de descarga
e despreze a carga cinética de aproximação da comporta.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos (não vou resolver ainda, só organizar tudo).
-
Dados fornecidos:
- Tirante d’água a montante:
. - Coeficiente de descarga:
. - Aceleração da gravidade (uso padrão):
. - Deseja-se vazão unitária (por metro de comprimento da comporta) inicial:
em condições de veia livre. - Depois, mantendo
e mantendo a mesma carga a montante, é pedido a vazão unitária descarregada quando o tirante a jusante for .
- Tirante d’água a montante:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a abertura
(altura livre de passagem sob a comporta) tal que, em veia livre, a vazão unitária seja . - Com essa mesma abertura
e mantendo igual, calcular a vazão unitária quando .
- Determinar a abertura
Observação importante (para o desenvolvimento): em veia livre a descarga é controlada pela queda entre a superfície montante e a região de vena contracta, enquanto quando a água a jusante sobe o suficiente a pressão de jusante atua e a velocidade é dada pela diferença de carga entre montante e jusante. Vou usar essas ideias para obter as fórmulas necessárias.
Passo 2
Explicar e deduzir a fórmula da vazão por unidade de comprimento através da abertura
em veia livre (aula rápida e intuitiva).
-
Ideia física: a água passa pela abertura formando uma seção contraída (vena contracta). A área efetiva da passagem (por unidade de comprimento) é
, onde é o coeficiente de contração/discarga dado (adianta-se que ele engloba a contração e efeitos na vazão por unidade de largura). A velocidade média nessa seção de contração é . Então a vazão por unidade de largura é -
Agora a energia que acelera o fluido vem da diferença de carga entre a superfície livre montante e a posição onde a pressão é atmosférica (na vena contracta, no caso de veia livre). Aplicando Bernoulli entre a superfície livre montante (pressão atmosférica, cotada como referência) e o ponto da vena contracta, e desprezando a energia cinética de aproximação (conforme o enunciado), obtemosonde
é a cota vertical do plano médio da seção onde a pressão é atmosférica. Para uma abertura vertical uniforme cuja seção contraída se situa aproximadamente na metade da altura da abertura, toma-se . Essa aproximação é a usada em muitos problemas básicos de comporta (a centroidalização da queda). Assim, -
Substituindo em
obtemos a expressão usada para veia livre: Aqui:-
é vazão por unidade de largura , -
é coeficiente adimensional , -
é a abertura (m), -
é , -
é o tirante montante (m).
-
Passo 3
Aplicar a fórmula da veia livre para encontrar
. Montamos a equação e simplificamos para resolver por métodos numéricos (vou mostrar o passo a passo para que dê para fazer na prova com um pouco de iteração).
Partimos de
Isolando e elevando ao quadrado:
Desenvolvendo:
Reescrevendo como polinômio em
:
Agora substituo os valores numéricos conhecidos:
Calculo intermediário:
E
Logo a equação numérica é
Para resolver essa cúbica para
(sabendo fisicamente que
), uso um método de bisseção/iteração simples (o que se faz numa prova sem calculadora: testar valores e aproximar). Vou mostrar os pontos de iteração essenciais:
- Teste em
dá valor positivo da função (portanto raiz maior que ). - Teste em
dá valor negativo (logo raiz entre e ). - Aproximações sucessivas por bisseção conduzem a uma raiz próxima de
.
Fazendo as contas com algumas iterações:
- Em
a expressão fica praticamente nula (chegando a diferenças de ordem no balanço), portanto tomo
Passo 4
Verificação rápida física e conclusão do primeiro item.
- O valor encontrado
é menor que , faz sentido físico (abertura não pode exceder o tirante). - Com esse
e coeficiente a vazão unitária em veia livre é a requisitada (foi assim que escolhemos ).
Passo 5
Agora calcular a vazão unitária quando o tirante a jusante é
, mantendo
e a mesma abertura
. Primeiro explico a diferença de regimes e a fórmula apropriada (didática).
-
Se a superfície a jusante ficar alta o suficiente para atuar sobre a seção contraída (isto é, a pressão na região de contração deixa de ser atmosférica), a velocidade é controlada pela diferença de carga entre montante e jusante. Aplicando Bernoulli entre superfície montante e superfície jusante (ambas à pressão atmosférica) e desprezando a energia cinética de aproximação, a velocidade na vena contracta ficaIsso pode ser visto facilmente: a energia disponível é a diferença de cotas das superfícies livres e transforma-se em energia cinética na contração, se a jusante houver água acima do nível da vena contracta (ou seja, se a jusante “submerge” a contração). Nesse caso a vazão por unidade de largura é(note a diferença em relação à expressão de veia livre: aí o termo dentro da raiz era
; aqui é .) -
Antes de usar essa fórmula convém verificar qualitativamente que realmente existe ação da jusante (isto é,
suficientemente alta para submergir a região de contração). No nosso caso é bem maior que a meia-abertura , portanto a jusante atua e o regime é submerso (a pressão na seção contraída responde à superfície de jusante). Logo a fórmula acima é aplicável.
Passo 6
Cálculo numérico da vazão submersa com os valores já obtidos.
Usando
substituo
,
(valor do Passo 3),
e
.
Calcule a raiz:
Agora
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas decimais, coerente com os dados):