(2 pontos) Aproxime
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
utilizando a regra do trapézio repetida, subdividindo o intervalo [1,7] em 6 subintervalos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede aproximar \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx
usando a regra do trapézio repetida subdividindo [1,7] em 6 subintervalos.
  • Informações fornecidas:
    • Limites do intervalo: a=1 e b=7.
    • Número de subintervalos: n=6.
    • A função a ser integrada é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 2

Apresentando a regra do trapézio repetida (composta) e explicando as variáveis:
  • Dividimos [a,b] em n subintervalos iguais de largura
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os nós (pontos) são \,x_i=a+i h\,,\; i=0,1,\dots,n.
  • A fórmula do trapézio composto é
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Explicação: h é a largura de cada subintervalo; \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} dá o contributo médio das extremidades; a soma \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) soma os valores nos pontos internos. Essa fórmula aproxima a área sob a curva por uma soma de trapézios em cada subintervalo.

Passo 3

Calcular h e os nós:
  • h=\frac{7-1}{6}=\;1.
  • Assim os nós são \,x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5,\;x_5=6,\;x_6=7.
    Avaliar f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} em cada nó (uso frações exatas):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(1)=1,\\\ f(x_1)&=f(2)=\dfrac{1}{4},\\\ f(x_2)&=f(3)=\dfrac{1}{9},\\\ f(x_3&)=f(4)=\dfrac{1}{16},\\\ f(x_4)&=f(5)=\dfrac{1}{25},\\\ f(x_5)&=f(6)=\dfrac{1}{36},\\\ f(x_6)&=f(7)=\dfrac{1}{49}. \end{aligned}

Passo 4

Aplicar a fórmula do trapézio composto com h=1:
T_6 = 1\left(\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2} + \sum_{i=1}^{5} f(x_i)\right) = \frac{1+ \tfrac{1}{49}}{2} + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}\right).

Passo 5

Calcular a soma dos termos internos como fração com denominador comum:
  • Primeiro a soma dos cinco internos:
\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36} = \frac{900+400+225+144+100}{3600}=\frac{1769}{3600}.
(foi usado o mínimo múltiplo comum 3600 de 4,9,16,25,36.)
  • A média das extremidades:
\frac{1+\tfrac{1}{49}}{2}=\frac{\tfrac{50}{49}}{2}=\frac{25}{49}.
  • Portanto
T_6 = \frac{25}{49} + \frac{1769}{3600}.

Passo 6

Somar as duas frações exatamente:
  • Colocando em denominador comum 176400=49\cdot3600:
\frac{25}{49}=\frac{25\cdot3600}{176400}=\frac{90000}{176400}, \qquad \frac{1769}{3600}=\frac{1769\cdot49}{176400}=\frac{86681}{176400}.
  • Somando:
T_6=\frac{90000+86681}{176400}=\frac{176681}{176400}.
Converter para decimal (aproximação):
T_6\approx 1{,}001598\ldots

Passo 7

Interpretação rápida (útil para prova): a aproximação obtida é
T_6=\frac{176681}{176400}\approx 1{,}001598.
Como verificação (opcional), a integral exata pode ser calculada por primitiva:
\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{7}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}\approx 0{,}857142,
portanto o trapézio composto com 6 subintervalos sobreestima o valor exato neste caso (função convexa).

Resposta

\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx \approx \frac{176681}{176400}\approx 1{,}001598

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