Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a soma da série infinita
Informações dadas:
- A soma é uma série infinita cujo termo geral é
. - A soma começa em
e vai até .
Passo 2
Vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica. Primeiro vou apresentar a definição e as letras que usarei:
- Uma série geométrica geral tem termos da forma
(ou , dependendo da convenção). Aqui: -
é o primeiro termo da série (quando toma seu primeiro valor). -
é a razão comum entre termos consecutivos.
-
- A soma parcial até o índice
é
Vou deduzir a fórmula para
passo a passo (essa é uma técnica que cai muito em prova).
Passo 3
Dedução da fórmula da soma parcial de uma geométrica (método clássico):
Escreve-se e multiplica-se por
, depois subtrai:
Escreve-se
Agora subtrai as duas expressões (primeira menos segunda):
Fatorando
na esquerda:
Logo, para
,
Passo 4
Passo seguinte: obter a soma infinita. Se a série convergir quando
, a soma infinita é
A convergência depende do comportamento de
quando
. Se
, então
portanto
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
- Identificamos o primeiro termo
. Como a soma começa em ,
- A razão é
Verificamos que
, logo a série converge e podemos usar a fórmula
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 7
Um pequeno cheque intuitivo (útil na prova): calcular algumas somas parciais
esses valores vão se aproximando de
, o que confirma o resultado.