Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
a) \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a soma da série infinita
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Informações dadas:
  • A soma é uma série infinita cujo termo geral é \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}.
  • A soma começa em k=0 e vai até k\to\infty.

Passo 2

Vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica. Primeiro vou apresentar a definição e as letras que usarei:
  • Uma série geométrica geral tem termos da forma a r^{k} (ou a r^{k-1}, dependendo da convenção). Aqui:
    • a é o primeiro termo da série (quando k toma seu primeiro valor).
    • r é a razão comum entre termos consecutivos.
  • A soma parcial até o índice N é
S_{N}=\sum_{k=0}^{N} a r^{k}.
Vou deduzir a fórmula para S_{N} passo a passo (essa é uma técnica que cai muito em prova).

Passo 3

Dedução da fórmula da soma parcial de uma geométrica (método clássico):
Escreve-se S_{N} e multiplica-se por r, depois subtrai:
S_{N}=\;a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N}.
rS_{N}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} + a r^{N+1}.
Agora subtrai as duas expressões (primeira menos segunda):
S_{N}-rS_{N}=a - a r^{N+1}.
Fatorando S_{N} na esquerda:
S_{N}(1-r)=a(1-r^{N+1}).
Logo, para r\neq 1,
S_{N}=\frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r}.

Passo 4

Passo seguinte: obter a soma infinita. Se a série convergir quando N\to\infty, a soma infinita é
S=\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r}.
A convergência depende do comportamento de r^{N+1} quando N\to\infty. Se |r|<1, então
\lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0,
portanto
S=\frac{a}{1-r}\quad\text{quando }|r|<1.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso:
  • Identificamos o primeiro termo a. Como a soma começa em k=0,
a=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1.
  • A razão é
r=\frac{1}{2}.
Verificamos que |r|=\left|\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1, logo a série converge e podemos usar a fórmula
S=\frac{a}{1-r}.

Passo 6

Substituindo a=1 e r=\tfrac{1}{2} na fórmula:
S=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 7

Um pequeno cheque intuitivo (útil na prova): calcular algumas somas parciais
S_{0}=1,\qquad S_{1}=1+\tfrac{1}{2}=1{,}5,\qquad S_{2}=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1{,}75,
S_{3}=1{,}875,\\ \\ S_{4}=1{,}9375,\\ \\ \ldots
esses valores vão se aproximando de 2, o que confirma o resultado.

Resposta

2

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