(2 pontos) Sabe-se que a equação \ln (x)-x / 4=0 admite uma raiz no intervalo (1,2). Determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. (Dica: use interpolação inversa fazendo uma tabela com os pontos x_{0}=1, x_{1}=1.5 e x_{2}=2 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz da equação \ln(x)-x/4=0 no intervalo (1,2) usando interpolação quadrática inversa. Os pontos fornecidos são
x_0=1,\qquad x_1=1{,}5,\qquad x_2=2.
Vou usar esses três pontos para montar uma interpolação quadrática de x em função de y=f(x)=\ln(x)-x/4 (isto é, interpolação inversa) e então avaliar essa interpolante em y=0 para obter a aproximação da raiz.

Passo 2

Calcular os valores y_i=f(x_i)=\ln(x_i)-x_i/4 nos três nós (aqui peguei os valores x_i do enunciado):
y_0=f(1)=\ln(1)-\tfrac{1}{4}=0-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}=-0{,}25,
y_1=f(1{,}5)=\ln(1{,}5)-\tfrac{1{,}5}{4}=\ln(1{,}5)-0{,}375\approx0{,}4054651081-0{,}375=0{,}0304651081,
y_2=f(2)=\ln(2)-\tfrac{2}{4}=\ln(2)-0{,}5\approx0{,}6931471806-0{,}5=0{,}1931471806.

Passo 3

Explicar o método (interpolação inversa com polinômio de Lagrange):
  • Em interpolação inversa construímos um polinômio quadrático P(y) tal que P(y_i)=x_i para i=0,1,2. Assim P aproxima x como função de y.
  • A forma de Lagrange para P(y) é
P(y)=\sum_{i=0}^{2} x_i\,\ell_i(y),
onde
\ell_i(y)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{y-y_j}{y_i-y_j}.
  • Para obter a raiz da equação queremos x tal que y=0. Logo computamos x(0)=P(0)=\sum_{i=0}^{2} x_i\,\ell_i(0). Vou calcular \ell_0(0),\ell_1(0),\ell_2(0) explicitamente.

Passo 4

Calcular os polinômios fundamentais em y=0.
Primeiro escrevo novamente os y_i para referência:
y_0=-0{,}25,\qquad y_1\approx0{,}0304651081,\qquad y_2\approx0{,}1931471806.
Calcule \ell_0(0):
\ell_0(0)=\frac{(0-y_1)(0-y_2)}{(y_0-y_1)(y_0-y_2)}=\frac{y_1y_2}{(y_0-y_1)(y_0-y_2)}.
Avaliações numéricas:
y_1y_2\approx0{,}0304651081\cdot0{,}1931471806\approx0{,}0058842497,
y_0-y_1=-0{,}25-0{,}0304651081=-0{,}2804651081,
y_0-y_2=-0{,}25-0{,}1931471806=-0{,}4431471806,
(y_0-y_1)(y_0-y_2)\approx(-0{,}2804651081)(-0{,}4431471806)\approx0{,}1242873197.
Logo
\ell_0(0)\approx\frac{0{,}0058842497}{0{,}1242873197}\approx0{,}04736.
Calcule \ell_1(0):
\ell_1(0)=\frac{(0-y_0)(0-y_2)}{(y_1-y_0)(y_1-y_2)}=\frac{y_0y_2}{(y_1-y_0)(y_1-y_2)}.
Avaliações numéricas:
y_0y_2=-0{,}25\cdot0{,}1931471806=-0{,}0482867952,
y_1-y_0=0{,}0304651081-(-0{,}25)=0{,}2804651081,
y_1-y_2=0{,}0304651081-0{,}1931471806=-0{,}1626820725,
(y_1-y_0)(y_1-y_2)\approx0{,}2804651081\cdot(-0{,}1626820725)\approx-0{,}0456264.
Logo
\ell_1(0)\approx\frac{-0{,}0482867952}{-0{,}0456264}\approx1{,}0582.
Calcule \ell_2(0):
\ell_2(0)=\frac{(0-y_0)(0-y_1)}{(y_2-y_0)(y_2-y_1)}=\frac{y_0y_1}{(y_2-y_0)(y_2-y_1)}.
Avaliações numéricas:
y_0y_1=-0{,}25\cdot0{,}0304651081=-0{,}0076162770,
y_2-y_0=0{,}1931471806-(-0{,}25)=0{,}4431471806,
y_2-y_1=0{,}1931471806-0{,}0304651081=0{,}1626820725,
(y_2-y_0)(y_2-y_1)\approx0{,}4431471806\cdot0{,}1626820725\approx0{,}072091,
\ell_2(0)\approx\frac{-0{,}0076162770}{0{,}072091}\approx-0{,}10567.
(Verificação rápida: \ell_0(0)+\ell_1(0)+\ell_2(0)\approx0{,}04736+1{,}0582-0{,}10567\approx1, o que é consistente.)

Passo 5

Construir x(0)=P(0)=\sum x_i\ell_i(0) e obter a aproximação da raiz:
x(0)=x_0\ell_0(0)+x_1\ell_1(0)+x_2\ell_2(0).
Substituindo números:
x(0)\approx1\cdot0{,}04736+1{,}5\cdot1{,}0582+2\cdot(-0{,}10567).
Cálculo:
1\cdot0{,}04736=0{,}04736,
1{,}5\cdot1{,}0582\approx1{,}58730,
2\cdot(-0{,}10567)=-0{,}21134.
Somando:
x(0)\approx0{,}04736+1{,}58730-0{,}21134\approx1{,}42332.
Uma checagem rápida: f(1{,}4233)=\ln(1{,}4233)-1{,}4233/4\approx-0{,}003, bem próximo de zero, então a aproximação é razoável para interpolação quadrática inversa.

Resposta

\,x\approx1,4233

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