(2 pontos) Sabe-se que a equação
admite uma raiz no intervalo
. Determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. (Dica: use interpolação inversa fazendo uma tabela com os pontos
e
).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz da equação
no intervalo
usando interpolação quadrática inversa. Os pontos fornecidos são
Vou usar esses três pontos para montar uma interpolação quadrática de
em função de
(isto é, interpolação inversa) e então avaliar essa interpolante em
para obter a aproximação da raiz.
Passo 2
Calcular os valores
nos três nós (aqui peguei os valores
do enunciado):
Passo 3
Explicar o método (interpolação inversa com polinômio de Lagrange):
- Em interpolação inversa construímos um polinômio quadrático
tal que para . Assim aproxima como função de . - A forma de Lagrange para
é
onde
- Para obter a raiz da equação queremos
tal que . Logo computamos . Vou calcular explicitamente.
Passo 4
Calcular os polinômios fundamentais em
.
Primeiro escrevo novamente os
para referência:
Calcule
:
Avaliações numéricas:
Logo
Calcule
:
Avaliações numéricas:
Logo
Calcule
:
Avaliações numéricas:
(Verificação rápida:
, o que é consistente.)
Passo 5
Construir
e obter a aproximação da raiz:
Substituindo números:
Cálculo:
Somando:
Uma checagem rápida:
, bem próximo de zero, então a aproximação é razoável para interpolação quadrática inversa.