Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra de 40 cm de comprimento onde as extremidades estão sempre a 0^circ. A temperatura inicial em toda a barra é constante, igual a 50°C. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que descreva como a temperatura u(x, t) varia ao longo do tempo e ao longo da barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como a equação de condução de calor funciona. A equação geral é:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, alpha^2=1, então a equação simplifica para:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2
Como as extremidades da barra estão fixas a 0^circ, temos as condições de contorno:
u(0, t) = 0 e u(40, t) = 0 para todo t > 0
Passo 3
Para resolver essa equação com as condições dadas, usamos a separação de variáveis e expandimos a solução em uma série de Fourier. A solução geral para u(x, t) é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t
Aqui, Bn são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
A condição inicial é u(x, 0) = 50 para todo 0 < x < 40. Para encontrar os coeficientes Bn, usamos a fórmula dos coeficientes da série de Fourier para funções ímpares (já que nossas condições de contorno são de Dirichlet, ou seja, temperaturas fixas nas extremidades):
Bn = 240 integral0^40 50 sin(npi x40) dx
Simplificando:
Bn = 120 times 50 times [ -40npi cos(npi x40) ]0^40
Depois de calcular a integral, percebemos que apenas os termos ímpares de n contribuem para a série (porque os termos pares se anulam devido à simetria). Então, podemos reescrever a série considerando apenas n = 2k + 1, onde k é um número inteiro.
Passo 5
Substituindo os valores na série, temos:
u(x, t) = 200pi sumk=0^infty sin((2k+1)pi x40)2k+1 e^-((2k+1)pi40)^2 t
Essa expressão nos dá a distribuição de temperatura ao longo da barra para qualquer tempo t.
Resposta
A expressão para a temperatura u(x, t) na barra é:
u(x, t) = 200pi sumk=0^infty sin((2k+1)pi x40)2k+1 , e^-((2k+1)pi40)^2 t