1. integral sec ^5(3 x) d x

Passo 1

Temos a integral integral sec^5(3x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de secante, e vamos precisar de uma substituição para lidar com o fator 3 e da fórmula de redução para integral sec^n u,du.

Passo 2

Primeiro substituímos u = 3x, logo du = 3,dx ou dx = tfracdu3. Assim a integral fica
13integral sec^5(u),du

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de redução para potências de secante: para n>1,
integral sec^n u,du = 1n-1sec^n-2utan u + n-2n-1integral sec^n-2u,du
Substituindo n=5 começamos a descer a potência de 5 para 3.

Passo 4

Com n=5 obtemos
integral sec^5 u,du = 14sec^3utan u + 34integral sec^3u,du
E sabemos que
integral sec^3u,du = 12sec utan u + 12lnl|sec u + tan ur| + C
Logo, combinando,
integral sec^5 u,du = 14sec^3utan u + 38sec utan u + 38lnl|sec u + tan ur| + C

Passo 5

Voltando a x com u=3x e lembrando do fator tfrac13, a integral original fica
integral sec^5(3x),dx = 112sec^3(3x)tan(3x) + 18sec(3x)tan(3x) + 18lnl|sec(3x) + tan(3x)r| + C

Resposta

112sec^3(3x)tan(3x) + 18sec(3x)tan(3x) + 18lnl|sec(3x) + tan(3x)r| + C

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