Considere a condução de calor em uma barra metálica uniforme de comprimento
com distribuição inicial de temperatura dada por
. Suponha que não há fluxo de calor através das extremidades
. Suponha que
, que
e que a distribuição inicial de temperatura é
para
. Encontre a temperatura
em qualquer instante nesta barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor em uma barra metálica. A gente tem uma barra de comprimento $ L = 30 $ unidades, com uma distribuição inicial de temperatura dada por $ f(x) = 30 - x $ para $ 0 < x < 30 $. As extremidades da barra não permitem fluxo de calor, ou seja, as derivadas da temperatura em $ x = 0 $ e $ x = 30 $ são zero ($ u_x(0, t) = u_x(30, t) = 0 $). A gente precisa encontrar a temperatura $ u(x, t) $ em qualquer ponto da barra e em qualquer instante de tempo. Para resolver isso, vamos usar a equação da condução de calor com condições de contorno de Neumann.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da condução de calor unidimensional:
Onde:
- $ u_t $ é a derivada da temperatura em relação ao tempo.
- $ u_{xx} $ é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.
- $ \alpha^2 = 1 $ é a difusividade térmica.
Como temos condições de contorno de Neumann ($ u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0 $), vamos procurar soluções que satisfaçam essas condições.
Passo 3
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Substituindo na equação da condução de calor:
Dividindo ambos os lados por $ X(x)T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 4
Isso nos dá duas equações:
- Para $ T(t) $:
A solução é:
- Para $ X(x) $:
Com condições de contorno:
Passo 5
Resolvendo a equação para $ X(x) $ com as condições de contorno de Neumann, as soluções são funções cosseno com $ \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 $, onde $ n = 0, 1, 2, \dots $. Portanto, as soluções são:
E as correspondentes funções de tempo são:
Passo 6
A solução geral é uma soma de todas essas soluções separadas:
Onde $ A_n $ são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial $ u(x, 0) = f(x) = 30 - x $.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos a expansão em série de Fourier para funções paritas (já que usamos cossenos). Calculamos:
Substituindo $ f(x) = 30 - x $ e $ L = 30 $:
Passo 8
Calculando a integral, obtemos:
Após simplificação, especialmente considerando que $ \sin(n\pi) = 0 $ para inteiro $ n $:
Passo 9
Agora, substituímos $ A_n $ de volta na série para $ u(x, t) $:
Note que para $ n = 0 $, a solução corresponde à média da condição inicial, que neste caso é $ A_0 = 15 $, então:
Resposta
A temperatura na barra em qualquer ponto $ x $ e instante $ t $ é dada por: