Considere a condução de calor em uma barra metálica uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por f(x), 0 <= x <= L. Suponha que não há fluxo de calor através das extremidades (ux(0, t)=ux(L, t)=0). Suponha que L=30, que alpha^2=1 e que a distribuição inicial de temperatura é f(x)=30-x para 0. Encontre a temperatura u(x, t) em qualquer instante nesta barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor em uma barra metálica. A gente tem uma barra de comprimento $ L = 30 $ unidades, com uma distribuição inicial de temperatura dada por $ f(x) = 30 - x $ para $ 0 < x < 30 $. As extremidades da barra não permitem fluxo de calor, ou seja, as derivadas da temperatura em $ x = 0 $ e $ x = 30 $ são zero ($ u_x(0, t) = u_x(30, t) = 0 $). A gente precisa encontrar a temperatura $ u(x, t) $ em qualquer ponto da barra e em qualquer instante de tempo. Para resolver isso, vamos usar a equação da condução de calor com condições de contorno de Neumann.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da condução de calor unidimensional:
ut = alpha^2 uxx
Onde:
  • $ u_t $ é a derivada da temperatura em relação ao tempo.
  • $ u_{xx} $ é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.
  • $ \alpha^2 = 1 $ é a difusividade térmica.
Como temos condições de contorno de Neumann ($ u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0 $), vamos procurar soluções que satisfaçam essas condições.

Passo 3

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
x
Substituindo na equação da condução de calor:
t
Dividindo ambos os lados por $ X(x)T(t) $:
u(x, t) = X(x)T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Isso nos dá duas equações:
  1. Para $ T(t) $:
T(t)
A solução é:
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
  1. Para $ X(x) $:
T(t) = C e^-alpha^2 lambda t
Com condições de contorno:
X(x)

Passo 5

Resolvendo a equação para $ X(x) $ com as condições de contorno de Neumann, as soluções são funções cosseno com $ \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 $, onde $ n = 0, 1, 2, \dots $. Portanto, as soluções são:
X(x)
E as correspondentes funções de tempo são:
lambdan = ( npiL )^2

Passo 6

A solução geral é uma soma de todas essas soluções separadas:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos( npi xL ) e^-alpha^2 ( npiL )^2 t
Onde $ A_n $ são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial $ u(x, 0) = f(x) = 30 - x $.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos a expansão em série de Fourier para funções paritas (já que usamos cossenos). Calculamos:
An
Substituindo $ f(x) = 30 - x $ e $ L = 30 $:
An = 2L integral0^L f(x) cos( npi xL ) dx

Passo 8

Calculando a integral, obtemos:
An = 230 [ 30npi sin( npi x30 ) g|0^30 - 30npi integral0^30 sin( npi x30 ) dx ]
Após simplificação, especialmente considerando que $ \sin(n\pi) = 0 $ para inteiro $ n $:
sin(npi) = 0

Passo 9

Agora, substituímos $ A_n $ de volta na série para $ u(x, t) $:
An
Note que para $ n = 0 $, a solução corresponde à média da condição inicial, que neste caso é $ A_0 = 15 $, então:
u(x, t)

Resposta

A temperatura na barra em qualquer ponto $ x $ e instante $ t $ é dada por:
x

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