Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação da temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
-k \frac{d T(0)}{d x}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} e T(0)=T_{0}=15^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá uma condução de calor unidimensional, em regime permanente, numa parede plana de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração interna de calor. As condições de contorno fornecidas no lado x=0 são:
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=\dot{q}_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^{2}}
e
T(0)=T_{0}=15^\circ\mathrm{C}.
A tarefa é obter a expressão que descreve a variação de temperatura T(x) dentro da parede (para 0\le x\le L), usando essas condições.

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial que governa o problema e explicar as fórmulas que vamos usar. Em condução de calor unidimensional, a lei de Fourier relaciona o fluxo de calor em x com o gradiente de temperatura:
q_x(x) = -k\frac{dT}{dx}(x),
onde q_x é o fluxo de calor por unidade de área (positivo no sentido positivo de x se definido assim) e k é a condutividade térmica (constante aqui). Em regime permanente e sem geração interna, a conservação de energia diz que o fluxo q_x não varia com x, isto é
\frac{d q_x}{dx}=0.
Substituindo a lei de Fourier obtemos a equação diferencial:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\frac{dT}{dx}\right)=0.
Como k é constante, isso simplifica para
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Essa é a equação que vamos resolver. Aqui \frac{d^2T}{dx^2}=0 significa que a curvatura da temperatura é zero — portanto a solução será uma função linear de x.

Passo 3

Integramos a equação diferencial \frac{d^2 T}{dx^2}=0 uma vez em relação a x. A primeira integração dá:
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Interpretativamente, C_{1} é o gradiente de temperatura, que será constante ao longo da espessura porque não há geração e k é constante.

Passo 4

Integramos novamente para obter T(x). A segunda integração fornece:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Então a solução geral é uma reta com coeficiente angular C_{1} e intercepto C_{2}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}. A primeira condição é a temperatura em x=0:
T(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=T_{0}.
Portanto
C_{2}=T_{0}=15^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

A segunda condição é a do fluxo no mesmo ponto x=0:
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=\dot{q}_{0}.
Como \frac{dT}{dx}=C_{1} (constante), temos
-k C_{1}=\dot{q}_{0}.
Desse modo
C_{1}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}.
A interpretação física do sinal: se \dot{q}_{0}>0 representa calor entrando na face x=0, então o gradiente de temperatura \frac{dT}{dx} é negativo (a temperatura diminui entrando na parede), o que aparece no sinal negativo.

Passo 7

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral T(x)=C_{1}x+C_{2} obtemos a expressão final da temperatura dentro da parede:
T(x)=T_{0}-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x.
Essa é uma variação linear de temperatura: em x=0 volta T(0)=T_{0} e o gradiente é \frac{dT}{dx}=-\dfrac{\dot{q}_{0}}{k}, o que verifica a condição de fluxo. Se quiser calcular a temperatura na face x=L, basta avaliar
T(L)=T_{0}-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,L.

Resposta

T(x)=T_{0}-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x

Exercícios relacionados