Determine as constantes
e
da equação de Andrade para a água, com base nos dados experimentais abaixo
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Passo 1
O que o exercício pede: determinar as constantes
e
da equação de Andrade para a água, usando os dois dados experimentais fornecidos.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Objetivo explícito: encontrar
e
tais que a equação de Andrade descreva esses dois pares
.
Passo 2
Escrevendo a equação de Andrade e explicando as variáveis:
onde
-
é a viscosidade (em ), -
é a temperatura absoluta em kelvin (K), -
e são constantes a determinar.
Importante: temperaturas no enunciado estão em graus Celsius; devemos convertê‑las para kelvin usando
Logo:
Passo 3
Tornar a equação linear para resolver com dois pontos: tomamos o logaritmo natural de ambos os lados
Isto é uma equação linear em função de
: se definirmos
e
, temos
. Com dois pontos podemos resolver explicitamente
e
.
Passo 4
Calcular
para os dois pontos (usar os valores numéricos dados):
Também é útil calcular
e
indiretamente quando necessário; usaremos a forma que evita calcular recíprocos isolados (mais estável numericamente).
Passo 5
Determinar
subtraindo as duas equações
e
. Fazendo
, obtemos
Para facilitar os cálculos, calculemos o produto
e a diferença
:
Agora compute o numerador:
Logo
Calculemos o produto e a divisão (mostrando as operações):
Assim obtemos
Passo 6
Determinar
. Usamos
. Calculamos
:
Logo
Exponenciando,
(Se fizerermos o cálculo usando o segundo ponto obteremos praticamente o mesmo resultado, o que verifica consistência.)
Passo 7
Interpretação e unidades: a constante
tem dimensões de temperatura (por isso dei unidade kelvin) para que
seja adimensional;
tem as mesmas unidades de
, ou seja
.