Determine as constantes D e B da equação de Andrade para a água, com base nos dados experimentais abaixo
T
\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]
\mu
\left[\mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right]
20^{\circ} \mathrm{C} 1,000 \cdot 10^{-3}
50^{\circ} \mathrm{C} 0,554 \cdot 10^{-3}

Passo 1

O que o exercício pede: determinar as constantes D e B da equação de Andrade para a água, usando os dois dados experimentais fornecidos.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &T_1 = 20^\circ\mathrm{C},\quad \mu_1 = 1{,}000\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},\\\ &T_2 = 50^\circ\mathrm{C},\quad \mu_2 = 0{,}554\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}. \end{aligned}
Objetivo explícito: encontrar D e B tais que a equação de Andrade descreva esses dois pares (T,\mu).

Passo 2

Escrevendo a equação de Andrade e explicando as variáveis:
\mu = D\,\exp\!\left(\frac{B}{T}\right),
onde
  • \mu é a viscosidade (em \mathrm{N\cdot s/m^{2}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K),
  • D e B são constantes a determinar.
    Importante: temperaturas no enunciado estão em graus Celsius; devemos convertê‑las para kelvin usando
T = t(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Logo:
T_1 = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Tornar a equação linear para resolver com dois pontos: tomamos o logaritmo natural de ambos os lados
\ln\mu = \ln D + \frac{B}{T}.
Isto é uma equação linear em função de 1/T: se definirmos y=\ln\mu e x=1/T, temos y = \ln D + B\,x. Com dois pontos podemos resolver explicitamente \ln D e B.

Passo 4

Calcular \ln\mu para os dois pontos (usar os valores numéricos dados):
\ln\mu_1 = \ln\!\left(1{,}000\cdot10^{-3}\right)=\ln(0{,}001)=-6{,}907755279,
\ln\mu_2 = \ln\!\left(0{,}554\cdot10^{-3}\right)=\ln(0{,}000554)=-7{,}498340372.
Também é útil calcular 1/T_1 e 1/T_2 indiretamente quando necessário; usaremos a forma que evita calcular recíprocos isolados (mais estável numericamente).

Passo 5

Determinar B subtraindo as duas equações \ln\mu_1 = \ln D + B/T_1 e \ln\mu_2 = \ln D + B/T_2. Fazendo \ln\mu_1-\ln\mu_2 = B\,(1/T_1 - 1/T_2), obtemos
B = \frac{\ln\mu_1 - \ln\mu_2}{\displaystyle\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}} = \frac{\ln(\mu_1/\mu_2)}{(T_2-T_1)/(T_1T_2)}.
Para facilitar os cálculos, calculemos o produto T_1T_2 e a diferença T_2-T_1:
T_1T_2 = 293{,}15\cdot323{,}15 = 94\,721{,}4225\\ \mathrm{K^2}, \qquad T_2-T_1 = 30{,}00\\ \mathrm{K}.
Agora compute o numerador:
\ln(\mu_1/\mu_2)=\ln\mu_1-\ln\mu_2 = -6{,}907755279 - (-7{,}498340372) = 0{,}5905850948.
Logo
B = \frac{0{,}5905850948\cdot T_1T_2}{T_2-T_1} = \frac{0{,}5905850948\cdot94\,721{,}4225}{30{,}00}.
Calculemos o produto e a divisão (mostrando as operações):
0{,}5905850948\cdot94\,721{,}4225 \approx 55\,941{,}0603,
B \approx \frac{55\,941{,}0603}{30{,}00} \approx 1\,864{,}70\\ \mathrm{K}.
Assim obtemos
B \approx 1\,864{,}70\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Determinar D. Usamos \ln D = \ln\mu_1 - B/T_1. Calculamos B/T_1:
\frac{B}{T_1} \approx \frac{1\,864{,}70}{293{,}15} \approx 6{,}3609.
Logo
\ln D = -6{,}907755279 - 6{,}3609 \approx -13{,}268655279.
Exponenciando,
D = \exp(\ln D) \approx \exp(-13{,}268655279) \approx 1{,}73\cdot10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
(Se fizerermos o cálculo usando o segundo ponto obteremos praticamente o mesmo resultado, o que verifica consistência.)

Passo 7

Interpretação e unidades: a constante B tem dimensões de temperatura (por isso dei unidade kelvin) para que B/T seja adimensional; D tem as mesmas unidades de \mu, ou seja \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.

Resposta

D = 1{,}73\cdot10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}
B = 1{,}864{,}7\\ \mathrm{K}

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