Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k , sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação da temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condições de contorno:
(a)
-k \frac{d T(0)}{d x}=q_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}
e T(0)=T_{0}=15^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pego do enunciado):
  • Uma parede plana extensa, condução de calor unidimensional em regime permanente (tempo constante).
  • Sem geração de calor no volume da parede.
  • Condutividade térmica constante: k.
  • Condições de contorno no mesmo lado x=0:
    • Fluxo térmico prescrito: -k\displaystyle\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^{2}}.
    • Temperatura prescrita: T(0)=T_{0}=15^\circ\mathrm{C}.
  • A espessura da parede é L (presente no enunciado geral, mas não foi necessária para este caso específico).
O que o problema pede: obter a expressão da variação da temperatura T(x) no interior da parede, isto é, determinar T(x) para 0\le x\le L usando as condições dadas.

Passo 2

Escrever a equação que governa a condução neste caso e explicar por que ela se simplifica.
Conservação de energia em regime permanente, sem geração e somente condução unidimensional diz que o fluxo de calor axial q_x é independente de x (não há acúmulo de energia nem termo fonte). Pela Lei de Fourier:
q_x(x) = -k\,\frac{dT}{dx}.
A conservação implica
\frac{d q_x}{dx}=0.
Substituindo q_x e assumindo k constante:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\frac{dT}{dx}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad -k\frac{d^2T}{dx^2}=0.
Como k\neq0,
\frac{d^2T}{dx^2}=0.
Comentário didático: essa equação significa que a curvatura da temperatura é nula — a solução será uma função linear de x. Isso é típico de regime permanente sem geração e com condutividade constante.

Passo 3

Integrar a equação diferencial duas vezes para obter a solução geral.
Integrando \dfrac{d^2T}{dx^2}=0 uma vez:
\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é uma constante. Integrando novamente:
T(x)=C_1\,x+C_2,
onde C_2 é outra constante. Aqui C_1 é a inclinação (derivada da temperatura) e C_2 é o valor de T em x=0.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.
Usar T(0)=T_0:
T(0)=C_1\cdot 0 + C_2 = C_2 = T_0.
Usar -k\,\dfrac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=q_0. Como \dfrac{dT}{dx}=C_1 em toda a parede, em x=0 tem-se
-k\,C_1 = q_0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\frac{q_0}{k}.
Portanto os dois constantes ficam determinados e a solução é:
T(x)= -\frac{q_0}{k}\,x + T_0.
Interpretação física rápida: se q_0>0 (fluxo dirigido para dentro na convenção usada), a inclinação \dfrac{dT}{dx}=C_1 é negativa, então a temperatura decresce com x.

Passo 5

Substituir os valores numéricos fornecidos e comentar unidades.
Substituindo T_0=15^\circ\mathrm{C} e q_0=40\\ \mathrm{W/cm^{2}} na expressão geral:
T(x)=15^\circ\mathrm{C}-\frac{40\\ \mathrm{W/cm^{2}}}{k}\,x.
Atenção com unidades: essa forma é consistente se x estiver em \mathrm{cm} e k estiver em \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)}.
Se preferir trabalhar no SI (metros), converte-se q_0:
q_0=40\\ \mathrm{W/cm^{2}}=40\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}=4\cdot10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Então, com x em metros e k em \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)},
T(x)=15^\circ\mathrm{C}-\frac{4\cdot10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}}{k}\,x.
Comentário final motivador: a temperatura varia linearmente na parede; sabendo k e L (se quiser o valor na face oposta x=L) dá para calcular T(L) diretamente com essa fórmula. Vai dar certo na prova — respire fundo e faça cada passo com calma.

Resposta

T(x)=T_0-\frac{q_0}{k}\,x
T(x)=15^\circ\mathrm{C}-\frac{40\\ \mathrm{W/cm^{2}}}{k}\,x\quad(\text{se }x\text{ em cm e }k\text{ em }\mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)})
T(x)=15^\circ\mathrm{C}-\frac{4\cdot10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}}{k}\,x\quad(\text{se }x\text{ em m e }k\text{ em }\mathrm{W/(m\cdot^\circ C)})

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