Demonstre que, em um meio poroso homogêneo, saturado e isotrópico em relação à permeabilidade, o fluxo tridimensional é governado pela Eq. 1, em que
é a carga hidráulica.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que, sob as condições dadas, a carga hidráulica
satisfaz a equação
Informações e hipóteses fornecidas (essas são todas as “peças” que podemos usar):
- O meio é poroso, homogêneo e saturado.
- O meio é isotrópico em relação à permeabilidade (ou seja, a condutividade hidráulica é a mesma em todas as direções).
- A variável
é a carga hidráulica (head). - Não foram mencionadas fontes ou sumidouros nem condições transientes; portanto assume-se o caso estacionário sem armazenamento nem variação temporal da massa de fluido (caso contrário apareceriam termos adicionais).
- Objetivo: partir das leis físicas fundamentais (Darcy + conservação de massa) e das hipóteses acima, chegar à equação desejada.
Passo 2
Apresentar a lei de Darcy e explicar cada termo.
A lei de Darcy, em forma vetorial, relaciona a velocidade de seepage (descarga específica)
ao gradiente de potencial hidrostático. Uma forma conveniente para incluir a gravidade é escrever a lei de Darcy para o gradiente de energia por unidade de volume:
Aqui:
-
é a velocidade de descarga específica (ou vazão específica) com dimensões de comprimento por tempo (por ex. ). Não é exatamente a velocidade real do fluido dentro dos poros, mas é a vazão por área total (velocidade média aparente). -
é a permeabilidade do meio poroso (unidade de área, ex.: ). -
é a viscosidade dinâmica do fluido ( ). -
é a pressão do fluido ( ). -
é a densidade do fluido ( ). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a cota vertical (altura). -
é o operador gradiente espacial.
Explicação física curta:
é a pressão mais o termo de peso por unidade de volume — é a energia potencial por unidade de volume. O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de decrescimento do potencial.
Passo 3
Introduzir a carga hidráulica
e a condutividade hidráulica
, e reescrever Darcy de forma usual.
Define-se a carga hidráulica (hydraulic head) por
Isto tem interpretação energética:
é a elevação equivalente da pressão (pressão head) e
é a elevação geométrica.
Multiplicando e rearranjando o que aparece dentro do gradiente da lei de Darcy,
Substituindo na lei de Darcy e definindo a condutividade hidráulica escalar
por
obtém-se a forma frequentemente usada em hidráulica de aquíferos:
Explicação das hipóteses usadas aqui:
- A hipótese de isotropia da permeabilidade permite usar um único escalar
em vez de um tensor de condutividade. - A hipótese de homogeneidade garante que
é constante no espaço (independente de ).
Passo 4
Escrever a conservação de massa (continuidade) para fluxo estacionário em meio saturado e incompressível.
Conservação de massa (forma diferencial) para fluxo estacionário e fluido incompressível dá
Breve justificativa: a equação completa é
. Para fluido quase-incompresível (
constante), sem fontes/sumidouros e em regime estacionário, reduz-se a
.
Passo 5
Combinar Darcy reescrito com a continuidade e usar homogeneidade/isotropia para obter a equação de Laplace.
Substitui-se
na continuidade:
Como o meio é homogêneo e isotrópico,
é constante escalar e pode ser colocado fora da operação divergente:
Ou seja,
Como
, divide-se ambos os lados por
e obtém-se
Em coordenadas cartesianas a expressão do laplaciano
é
o que leva exatamente à equação desejada:
Passo 6
Comentários finais didáticos e interpretação física.
- A equação
é a equação de Laplace; diz que a carga hidráulica é uma função harmônica no domínio sem fontes/sumidouros e em regime permanente. - As hipóteses essenciais para esse resultado são: fluxo estacionário, fluido incompressível (ou densidade praticamente constante), meio saturado, sem fontes/sumidouros internos, e meio homogêneo e isotrópico para que
seja constante escalar. Se qualquer uma dessas condições falhar, a equação muda: - se
depende da posição (heterogêneo), tem-se ; - se o meio é anisotrópico,
é tensor e aparece ; - se houver armazenamento/transiente, surge um termo temporal (equação de difusão do head);
- se houver fontes/sumidouros, aparece um termo fonte no lado direito.
- se
- Intuição rápida: a igualdade entre segundas derivadas somadas significa que não há “picos” ou “vales” locais isolados de head internos — o perfil de head é suave e determinado pelas condições de contorno.