Demonstre que, em um meio poroso homogêneo, saturado e isotrópico em relação à permeabilidade, o fluxo tridimensional é governado pela Eq. 1, em que h é a carga hidráulica.
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}}=0

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que, sob as condições dadas, a carga hidráulica h satisfaz a equação
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}}=0.
Informações e hipóteses fornecidas (essas são todas as “peças” que podemos usar):
  • O meio é poroso, homogêneo e saturado.
  • O meio é isotrópico em relação à permeabilidade (ou seja, a condutividade hidráulica é a mesma em todas as direções).
  • A variável h é a carga hidráulica (head).
  • Não foram mencionadas fontes ou sumidouros nem condições transientes; portanto assume-se o caso estacionário sem armazenamento nem variação temporal da massa de fluido (caso contrário apareceriam termos adicionais).
  • Objetivo: partir das leis físicas fundamentais (Darcy + conservação de massa) e das hipóteses acima, chegar à equação desejada.

Passo 2

Apresentar a lei de Darcy e explicar cada termo.
A lei de Darcy, em forma vetorial, relaciona a velocidade de seepage (descarga específica) \mathbf{q} ao gradiente de potencial hidrostático. Uma forma conveniente para incluir a gravidade é escrever a lei de Darcy para o gradiente de energia por unidade de volume:
\mathbf{q} = -\frac{k}{\mu}\,\nabla\bigl(p+\rho g z\bigr).
Aqui:
  • \mathbf{q}=(q_x,q_y,q_z) é a velocidade de descarga específica (ou vazão específica) com dimensões de comprimento por tempo (por ex. \mathrm{m/s}). Não é exatamente a velocidade real do fluido dentro dos poros, mas é a vazão por área total (velocidade média aparente).
  • k é a permeabilidade do meio poroso (unidade de área, ex.: \mathrm{m^2}).
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}).
  • p é a pressão do fluido ( \mathrm{Pa}).
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}).
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • z é a cota vertical (altura).
  • \nabla é o operador gradiente espacial.
Explicação física curta: p+\rho g z é a pressão mais o termo de peso por unidade de volume — é a energia potencial por unidade de volume. O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de decrescimento do potencial.

Passo 3

Introduzir a carga hidráulica h e a condutividade hidráulica K, e reescrever Darcy de forma usual.
Define-se a carga hidráulica (hydraulic head) por
h=\frac{p}{\rho g}+z.
Isto tem interpretação energética: \dfrac{p}{\rho g} é a elevação equivalente da pressão (pressão head) e z é a elevação geométrica.
Multiplicando e rearranjando o que aparece dentro do gradiente da lei de Darcy,
\nabla\bigl(p+\rho g z\bigr)=\rho g\,\nabla\!h.
Substituindo na lei de Darcy e definindo a condutividade hidráulica escalar K por
K=\frac{k\,\rho g}{\mu},
obtém-se a forma frequentemente usada em hidráulica de aquíferos:
\mathbf{q}=-K\,\nabla h.
Explicação das hipóteses usadas aqui:
  • A hipótese de isotropia da permeabilidade permite usar um único escalar K em vez de um tensor de condutividade.
  • A hipótese de homogeneidade garante que K é constante no espaço (independente de x,y,z).

Passo 4

Escrever a conservação de massa (continuidade) para fluxo estacionário em meio saturado e incompressível.
Conservação de massa (forma diferencial) para fluxo estacionário e fluido incompressível dá
\nabla\cdot\mathbf{q}=0.
Breve justificativa: a equação completa é \dfrac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{q}) = \text{fontes} - \text{sumidouros}. Para fluido quase-incompresível ( \rho constante), sem fontes/sumidouros e em regime estacionário, reduz-se a \nabla\cdot\mathbf{q}=0.

Passo 5

Combinar Darcy reescrito com a continuidade e usar homogeneidade/isotropia para obter a equação de Laplace.
Substitui-se \mathbf{q}=-K\nabla h na continuidade:
\nabla\cdot(-K\nabla h)=0.
Como o meio é homogêneo e isotrópico, K é constante escalar e pode ser colocado fora da operação divergente:
-K\,\nabla\cdot(\nabla h)=0.
Ou seja,
-K\,\nabla^{2}h=0.
Como K\neq 0, divide-se ambos os lados por -K e obtém-se
\nabla^{2}h=0.
Em coordenadas cartesianas a expressão do laplaciano \nabla^{2} é
\nabla^{2}h=\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}},
o que leva exatamente à equação desejada:
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}}=0.

Passo 6

Comentários finais didáticos e interpretação física.
  • A equação \nabla^{2}h=0 é a equação de Laplace; diz que a carga hidráulica é uma função harmônica no domínio sem fontes/sumidouros e em regime permanente.
  • As hipóteses essenciais para esse resultado são: fluxo estacionário, fluido incompressível (ou densidade praticamente constante), meio saturado, sem fontes/sumidouros internos, e meio homogêneo e isotrópico para que K seja constante escalar. Se qualquer uma dessas condições falhar, a equação muda:
    • se K depende da posição (heterogêneo), tem-se \nabla\cdot(K\nabla h)=0;
    • se o meio é anisotrópico, K é tensor e aparece \nabla\cdot(\mathbf{K}\nabla h)=0;
    • se houver armazenamento/transiente, surge um termo temporal (equação de difusão do head);
    • se houver fontes/sumidouros, aparece um termo fonte no lado direito.
  • Intuição rápida: a igualdade entre segundas derivadas somadas significa que não há “picos” ou “vales” locais isolados de head internos — o perfil de head é suave e determinado pelas condições de contorno.

Resposta

\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} h}{\partial z^{2}}=0

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