Considere um condutor cilíndrico maciço de raio igual a 5 cm e comprimento igual a 10 m . Suponha que: i) o campo vetorial intensidade de campo magnético em seu interior seja igual a 5 rho^2 aphi A / m; ii) a permeabilidade magnética relativa do condutor seja igual a 1; iii) este condutor seja percorrido por uma corrente cujo campo vetorial densidade de corrente de condução é igual a 3rho az A / m^2 e iv) a condutividade elétrica do condutor é igual a 3 times 10^7 S / m. Determine: a) a indutância interna deste condutor e b) a corrente elétrica que percorre o condutor.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico maciço de raio a=5 cm=0,05 m e comprimento l=10 m. No interior do condutor (para rho<= a) temos:
  1. A intensidade de campo magnético
H(rho)=5,rho^2,hat aphil[A/mr]
  1. Permeabilidade magnética relativa mur=1, logo mu=mu0=4pitimes10^-7 H/m.
  2. Densidade de corrente de condução
J(rho)=3rho,hat azl[A/m^2r]
  1. Condutividade elétrica sigma=3times10^7 S/m.
    Pedem:
    a) A indutância interna L do condutor.
    b) A corrente total I que percorre o condutor.

Passo 2

Cálculo da corrente total I.
A corrente que atravessa uma seção transversal vale
I=integral duplaSJcdot dS =integralrho=0^aintegralphi=0^2pi3rho,(rho,dphi,drho) =3integral0^aintegral0^2pidphi,drho =3,(2pi),a =6pi,a
Substituindo a=0,05 m,
I=6pitimes0,05=0,3pi Aapprox0,94 A

Passo 3

Energia magnética armazenada por unidade de comprimento W'.
A densidade de energia magnética é
w=tfrac12,Bcdot H =tfrac12,mu0,H^2
Logo
W'=integralSw,dS =12,mu0integral0^aintegral0^2piH^2,rho,dphi,drho =pi,mu0integral0^a25,rho^4,rho,drho =pi,mu0,25integral0^arho^5drho =25pi,mu0,a^66

Passo 4

Relação entre W' e indutância por unidade de comprimento L':
L'=2,W'I^2 =2,(25pi,mu0,a^6/6)(6pi,a)^2 =25,mu0,a^4108,pi
A indutância total do condutor de comprimento l é
L=L',l =25,mu0,a^4108,pi;l

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
mu0=4pitimes10^-7 H/m, a=0,05 m, l=10 m,
L =25,(4pitimes10^-7),(0,05)^4108,pitimes10 approx5,8times10^-12 H

Resposta

a) Lapprox5,8times10^-12 H
b) I=0,3pi Aapprox0,94 A

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