Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=e^sen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^sinl(x^2r). Aqui o conteúdo é derivação de função composta usando a regra da cadeia, além de saber derivar a função exponencial e a função seno.

Passo 2

Vamos identificar as duas camadas de composição. Definimos
u(x)=sinl(x^2r)
e
g(u)=e^u,
de modo que f(x)=gl(u(x)r). Sabemos que
g'(u)=e^u

Passo 3

Agora derivamos u(x). Como u(x)=sinl(x^2r), pela regra da cadeia temos
u'(x)=cosl(x^2r),cdotddxl(x^2r) =cosl(x^2r)cdot 2x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=gl(u(x)r), obtemos
f'(x)=g'l(u(x)r),u'(x) =e^u(x)cdotl(2xcos(x^2)r)

Resposta

f'(x)=2x,e^sin(x^2)cos(x^2)

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