Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=e^(sen(x)^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^l(sin(x)r)^2
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma função exponencial composta com u(x)=(sin(x))^2. Também vamos usar que a derivada de e^u é e^u,u' e que a derivada de sin(x) é cos(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = l(sin(x)r)^2
Como f(x)=e^u(x), a regra da cadeia diz que
f'(x) = e^u(x),u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=[v(x)]^2 com v(x)=sin(x), aplicamos a regra da potenciação d[v^2]/dx = 2,v,v':
u'(x) = 2,sin(x),ddxl[sin(x)r] = 2,sin(x),cos(x)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=e^u(x),u'(x), obtemos
f'(x) = e^l(sin(x)r)^2;l(2,sin(x),cos(x)r)

Passo 5

Para simplificar, lembramos que 2,sin(x),cos(x)=sin(2x). Logo, a expressão fica
f'(x) = e^sin^2(x),sin(2x)

Resposta

f'(x) = 2,sin(x),cos(x),e^sin^2(x) ou f'(x)=e^sin^2(x),sin(2x)

Exercícios relacionados