Dadas f(x)=1x-1 e g(x)=log (x).
(a) Efetue as operações f+g, f-g, f cdot g, f / g, g / f
(b) Calcule o domínio das funções calculadas no item (a)

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=1x-1, g(x)=log(x)
e pede:
(a) calcular as combinações f+g, f-g, fcdot g, tfracfg e tfracgf;
(b) determinar o domínio de cada uma.
Para isso precisamos usar álgebra de funções e saber que o domínio de uma operação é a interseção dos domínios originais, excluindo pontos que anulem denominadores ou tornem argumento de log inválido.

Passo 2

Vamos escrever cada combinação de forma simplificada:
f+g=1x-1+log(x) =1+(x-1),log(x)x-1
f-g=1x-1-log(x) =1-(x-1),log(x)x-1
fcdot g=1x-1,log(x) =log(x)x-1
fg =tfrac1x-1log(x) =1(x-1),log(x)
gf =log(x)tfrac1x-1 =(x-1),log(x)

Passo 3

Identificamos primeiro os domínios de f e g:
Df=xinRmid xneq1, Dg=xinRmid x>0
A interseção é
Dfcap Dg=x>0mid xneq1=(0,1)cup(1,infty)
Para as operações sem novo denominador (isto é, f+g, f-g, fcdot g), o domínio é exatamente essa interseção:
(0,1)cup(1,infty)

Passo 4

Para tfracfg precisamos ainda que g(x)neq0, ou seja log(x)neq0Rightarrow xneq1. Mas isso já está excluído em (0,1)cup(1,infty). Logo o domínio de tfracfg continua
(0,1)cup(1,infty)

Passo 5

Para tfracgf precisamos que f(x)neq0. Como f(x)=1/(x-1) nunca zera, não há exclusão extra além de x>0 e xneq1. Portanto o domínio de tfracgf é também
(0,1)cup(1,infty)

Resposta

(a)
f+g=1+(x-1),log(x)x-1, f-g=1-(x-1),log(x)x-1, fcdot g=log(x)x-1, fg=1(x-1),log(x), gf=(x-1),log(x)
(b)
O domínio de todas essas cinco funções é
(0,1)cup(1,infty)

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