Considere um cone de ângulo de abertura 2 \gamma e que o ponto inicial é o vértice, tomado como origem do sistema de coordenadas. Determine as geodésicas do cone.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se: determinar as geodésicas da superfície lateral de um cone cujo vértice é a origem do sistema de coordenadas e cujo ângulo de abertura é 2\gamma.
  • Informações do enunciado que vamos usar explicitamente:
    • O vértice (ponto inicial) do cone é a origem O.
    • O ângulo de abertura do cone é 2\gamma. Vou tomar \gamma como o semi-ângulo entre o eixo do cone e uma geratriz (esta é a convenção mais usual: o cone é obtido girando uma geratriz que forma ângulo \gamma com o eixo).
  • Perguntas explícitas a responder:
    1. Quais curvas na superfície do cone são geodésicas?
    2. Dar uma expressão (equação) que descreva essas geodésicas em coordenadas naturais do cone.

Passo 2

Parametrização do cone e interpretação geométrica do parâmetro \gamma.
  • Vamos parametrizar a superfície lateral do cone por coordenadas polares (r,\theta) no próprio cone, onde:
    • \;r\ge 0\; é a distância ao vértice medida ao longo de uma geratriz (ou seja, é a distância de arco desde o vértice ao longo de uma reta geratriz),
    • \;\theta\in[0,2\pi)\; é o ângulo em torno do eixo do cone (coordenada angular).
  • Uma parametrização conveniente (embutida em \mathbb{R}^3) é
X(r,\theta)=\big(r\sin\gamma\cos\theta,\; r\sin\gamma\sin\theta,\; r\cos\gamma\big).
  • Aqui \gamma é o semi-ângulo do cone: a distância radial (projeção no plano horizontal) de um ponto a uma distância r do vértice é r\sin\gamma, e a altura (coordenada z) é r\cos\gamma.
  • Expliquei a parametrização porque dela vamos extrair as fórmulas de comprimento e a métrica induzida, essenciais para achar geodésicas.

Passo 3

Cálculo da métrica (primeira forma fundamental) no par de coordenadas (r,\theta).
  • Calculemos as derivadas parciais:
\partial_r X = (\sin\gamma\cos\theta,\;\sin\gamma\sin\theta,\;\cos\gamma),
\partial_\theta X = (-r\sin\gamma\sin\theta,\; r\sin\gamma\cos\theta,\;0).
  • Produto interno (métrica):
    • \langle \partial_r X,\partial_r X\rangle = \sin^2\gamma\cos^2\theta+\sin^2\gamma\sin^2\theta+\cos^2\gamma = \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1.
    • \langle \partial_r X,\partial_\theta X\rangle = 0 (os termos se cancelam).
    • \langle \partial_\theta X,\partial_\theta X\rangle = r^2\sin^2\gamma(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=r^2\sin^2\gamma.
  • Logo a métrica da superfície, em coordenadas (r,\theta), é diagonal e vale
ds^2 = dr^2 + \big(r\sin\gamma\big)^2 d\theta^2.
  • Interpretação: a circunferência de raio r (na superfície, paralela à base) tem comprimento 2\pi r\sin\gamma. Note que r é a distância ao vértice ao longo da geratriz.

Passo 4

Ideia geral: como achar geodésicas? (duas abordagens e escolha da mais prática)
  • Teoria curta e intuitiva: geodésicas são as curvas que localmente minimizam comprimento. No caso de superfícies planas (isométricas a um domínio do plano), as geodésicas são linhas retas.
  • Observação chave (muito útil aqui): a superfície lateral do cone é uma superfície plana (curvatura Gaussiana zero) e é isométrica a um setor circular do plano obtido “desenrolando” o cone (cortar ao longo de uma geratriz e abrir).
  • Por isso a abordagem prática que vamos usar é: desenvolver (desenrolar) o cone num setor plano; lá as geodésicas são retas; voltar ao cone aplicando a isometria inversa.
  • Eu poderia também escrever as equações de geodésicas via as equações de Euler–Lagrange a partir da métrica e resolver. Isso dá a mesma conclusão (uma constante angular aparece porque \theta é coordenada cíclica). Porém a ideia do desenvolvimento é mais direta e mais intuitiva para provas, então vamos usá-la — eu explico a relação com a conservação de momento angular ao longo do caminho.

Passo 5

Desenvolvimento do cone em um setor do plano: correspondência entre coordenadas.
  • Ao desenrolar o cone, um círculo (paralela) de raio r na superfície vira uma circunferência de raio r no setor plano (porque a distância radial ao vértice é preservada), e o comprimento dessa circunferência é 2\pi r\sin\gamma (como vimos). Num setor plano de raio r a circunferência correspondente tem comprimento equal a \alpha r, onde \alpha é a abertura (ângulo) do setor.
  • Igualando comprimentos \alpha r = 2\pi r\sin\gamma obtemos o ângulo do setor:
\alpha = 2\pi\sin\gamma.
  • Portanto existe uma isometria (preserva distâncias) entre a superfície lateral do cone e um setor circular no plano de ângulo \alpha=2\pi\sin\gamma. Nas coordenadas polares do setor plano tomamos:
    • mesma coordenada radial r (distância ao vértice),
    • coordenada angular do setor \varphi relacionada com \theta por
\varphi = \theta\,\sin\gamma.
  • Observação: quando \theta varia de 0 a 2\pi, \varphi varia de 0 a 2\pi\sin\gamma=\alpha, conforme esperado.
  • Conclusão prática: para estudar geodésicas no cone, passe para o setor plano com coordenadas polares (r,\varphi) usando \varphi=\theta\sin\gamma; lá geodésicas são retas.

Passo 6

Equação das retas no setor plano e volta para o cone.
  • Em coordenadas polares planas (r,\varphi), uma reta que não passa pelo origem tem, em geral, a equação (forma conhecida)
r\cos(\varphi-\varphi_0)=d,
onde:
  • d\ge 0 é a distância perpendicular da reta ao centro (origem) do setor,
  • \varphi_0 é o ângulo de direção normal (constante que determina orientação).
  • Agora substituímos \varphi=\theta\sin\gamma para retornar às coordenadas do cone. Assim a curva na superfície do cone correspondente a essa reta é dada por
r\cos\big(\theta\sin\gamma-\varphi_0\big)=d,
onde d e \varphi_0 são constantes determinadas pelas condições iniciais (posição inicial e direção inicial da geodésica).
  • Casos especiais:
    • Se d=0 a reta passa pela origem do setor; então \varphi=\varphi_0 constante. Voltando ao cone isso dá \theta=\varphi_0/\sin\gamma constante: são as geratrizes (meridianos) do cone, i.e. curvas que saem do vértice e ficam numa mesma direção angular — estes são geodésicas que passam pelo vértice.
    • Se a reta no setor intercepta a aresta do setor (a linha onde o setor é cortado) ao ser “reaplicada” no cone, sua imagem no cone continua sendo uma geodésica suave, possivelmente enrolando em volta do cone; isso corresponde a estender a equação acima para \theta além de [0,2\pi) levando em conta a identificação das bordas do setor (o cone é obtido colando as bordas do setor).

Passo 7

Relação com as equações variacionais (curto comentário que ajuda em prova).
  • Se preferires ver a mesma conclusão via Euler–Lagrange: com a métrica ds^2=dr^2+(r\sin\gamma)^2d\theta^2 a coordenada \theta é cíclica, então existe uma quantidade conservada (momento angular)
(r\sin\gamma)^2\dot\theta = \text{const} = L,
onde o ponto significa derivada em relação ao parâmetro natural (“tempo” ao longo da curva). Com a condição de parametrização por comprimento \dot r^2+(r\sin\gamma)^2\dot\theta^2=1 e eliminando \dot\theta obtém-se uma relação entre r e \theta que, após algumas manipulações, é equivalente à forma r\cos(\theta\sin\gamma-\varphi_0)=d obtida via desenvolvimento. Portanto as duas abordagens coincidem: geodésicas não-triviais são imagens das retas do setor plano.

Resposta

As geodésicas da superfície lateral do cone são exatamente as imagens, pelo desenrolamento do cone, das linhas retas do setor plano de ângulo \alpha=2\pi\sin\gamma. Em coordenadas (r,\theta) do cone elas são:
  • Geratrizes (geodésicas que passam pelo vértice):
\theta=\text{const}.
  • Geodésicas gerais (imagem de reta no setor), dadas por duas constantes d\ge 0 e \varphi_0:
r\cos\big(\theta\sin\gamma-\varphi_0\big)=d.

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