Considere um pêndulo simples de massa
e comprimento
, que está suspenso por um ponto que executa oscilações horizontais da forma
. (a) Encontre a lagrangiana do sistema em termos do ângulo
que o fio faz com a direção vertical orientada para baixo; (b) encontre a equação de movimento do sistema; (c) mostre que para pequenas oscilações de
a equação se reduz a um oscilador harmônico forçado. (d) Encontre uma solução estacionária do tipo
e expresse
em função de
, e
. (e) O que acontece quando
?
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo simples de massa
, e comprimento
, preso num ponto cujo deslocamento horizontal é
. O ângulo do fio com a vertical (orientada para baixo) é
. São pedidas as seguintes coisas: (a) a lagrangiana em termos de
; (b) a equação de movimento; (c) mostrar que para pequenas oscilações a equação vira um oscilador harmônico forçado; (d) achar uma solução estacionária do tipo
e expressar
em função de
; (e) o que acontece quando
. Informações relevantes dadas:
, pêndulo rígido de comprimento
, massa
, aceleração da gravidade
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Escolhemos o pivô como origem. Usamos coordenadas cartesianas do corpo em termos de
:
onde tomamos a direção vertical para cima positiva (assim o ponto mais baixo tem energia potencial zero se quisermos). Vou calcular agora as velocidades usando derivadas temporais (regra da cadeia):
e
. Expliquei: ao derivar
usamos
.
Passo 3
Kinetic energy
e potential energy
:
Expandindo e notando que
obtemos (mostro a álgebra):
Para a energia potencial podemos adotar a referência de energia zero no ponto mais baixo (
), obtendo a forma padrão:
A Lagrangiana é
. Assim:
(Comentários didáticos rápidos: a lagrangiana é
.
é coordenada generalizada; nada de complicado — só calcular velocidades e energias.)
Passo 4
Agora aplicamos as equações de Euler–Lagrange. Primeiro calculamos
Derivando temporalmente (usando produto e cadeia:
e
):
Em seguida:
onde o primeiro termo vem da dependência explícita de
no termo misto de
e o segundo vem de
. Agora aplicamos Euler–Lagrange:
Substituindo os termos (e observando que os termos com
se cancelam) obtemos a equação de movimento.
Passo 5
Fazendo as simplificações descritas, a equação de movimento fica
Dividindo por
e rearranjando em forma mais familiar:
(Isto responde o item (b). Interpretação rápida: o lado direito é um termo de forçamento proveniente do movimento do ponto de suspensão; o termo
é a restituição gravitacional usual.)
Passo 6
Agora linearizamos para pequenas oscilações: para
pequeno usamos as expansões de Taylor de primeiras ordens
e
. Substituindo na equação obtemos
Isto é exatamente a equação de um oscilador harmônico linear de frequência natural
forçado por uma força proporcional a
. (Comentário didático: a linearização é válida quando
em radianos; usamos as aproximações porque as séries de Taylor têm primeiro termo linear dominante.)
Passo 7
Procuramos uma solução estacionária (regime permanente, desprezando transientes) da forma
com
constante. Substituindo na equação linearizada:
Igualando coeficientes de
(força e resposta com mesma frequência) obtemos
Daí isolamos
:
(Observação: se o denominador mudar de sinal a resposta muda de fase em
; se o denominador for zero há ressonância.)
Passo 8
Analisando o caso
: então
e a expressão para
do passo anterior diverge. Na teoria linear sem amortecimento isto significa ressonância — a amplitude cresce sem limite (no modelo linear ideal). Na prática, isso significa que perto de
a amplitude cresce muito e a hipótese de pequenas oscilações (
pequeno) deixa de ser válida; além disso, efeitos de amortecimento e não linearidades limitarão a amplitude e haverá mudança de fase (e o regime estacionário precisa incluir termos de fase ou amortecimento). Em resumo:
é a frequência natural do pêndulo — forçar nessa frequência conduz à ressonância.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) (para
pequeno).
(d) .
(e) Para o denominador é zero: a solução linear prevê amplitude divergente (ressonância); na prática amplitude muito grande e a aproximação linear falha — amortecimento e não linearidades limitam a resposta.
(b)
(c)
(d)
(e) Para