Considere um pêndulo simples de massa m e comprimento L, que está suspenso por um ponto que executa oscilações horizontais da forma x=a \cos \omega t. (a) Encontre a lagrangiana do sistema em termos do ângulo \theta que o fio faz com a direção vertical orientada para baixo; (b) encontre a equação de movimento do sistema; (c) mostre que para pequenas oscilações de \theta a equação se reduz a um oscilador harmônico forçado. (d) Encontre uma solução estacionária do tipo \theta=\theta_{0} \cos (\omega t) e expresse \theta_{0} em função de m, L, a, e \omega. (e) O que acontece quando \omega=\sqrt{g / L} ?

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo simples de massa \,m, e comprimento \,L, preso num ponto cujo deslocamento horizontal é \,x_p(t)=a\cos\omega t. O ângulo do fio com a vertical (orientada para baixo) é \,\theta(t). São pedidas as seguintes coisas: (a) a lagrangiana em termos de \theta; (b) a equação de movimento; (c) mostrar que para pequenas oscilações a equação vira um oscilador harmônico forçado; (d) achar uma solução estacionária do tipo \theta=\theta_0\cos\omega t e expressar \theta_0 em função de \,m,L,a,\omega; (e) o que acontece quando \omega=\sqrt{g/L}. Informações relevantes dadas: \,x_p(t)=a\cos\omega t, pêndulo rígido de comprimento \,L, massa \,m, aceleração da gravidade \,g. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escolhemos o pivô como origem. Usamos coordenadas cartesianas do corpo em termos de \theta:
X(t)=x_p(t)+L\sin\theta(t)=a\cos\omega t + L\sin\theta(t),
Y(t)=-L\cos\theta(t),
onde tomamos a direção vertical para cima positiva (assim o ponto mais baixo tem energia potencial zero se quisermos). Vou calcular agora as velocidades usando derivadas temporais (regra da cadeia): \dot X = -a\omega\sin\omega t + L\cos\theta\,\dot\theta e \dot Y = L\sin\theta\,\dot\theta. Expliquei: ao derivar \sin\theta(t) usamos \frac{d}{dt}\sin\theta=\cos\theta\,\dot\theta.

Passo 3

Kinetic energy T e potential energy V:
T=\frac{1}{2}m\big(\dot X^{2}+\dot Y^{2}\big) =\frac{1}{2}m\Big[\big(-a\omega\sin\omega t + L\cos\theta\,\dot\theta\big)^{2} + \big(L\sin\theta\,\dot\theta\big)^{2}\Big].
Expandindo e notando que \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 obtemos (mostro a álgebra):
T=\frac{1}{2}m\Big[L^{2}\dot\theta^{2}+a^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega t - 2a\omega L\cos\theta\sin\omega t\,\dot\theta\Big].
Para a energia potencial podemos adotar a referência de energia zero no ponto mais baixo ( \theta=0), obtendo a forma padrão:
V=m g L(1-\cos\theta).
A Lagrangiana é \mathcal{L}=T-V. Assim:
\boxed{\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\Big[L^{2}\dot\theta^{2}+a^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega t - 2a\omega L\cos\theta\sin\omega t\,\dot\theta\Big] - m g L(1-\cos\theta).}
(Comentários didáticos rápidos: a lagrangiana é T-V. \theta é coordenada generalizada; nada de complicado — só calcular velocidades e energias.)

Passo 4

Agora aplicamos as equações de Euler–Lagrange. Primeiro calculamos
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta}=m\Big[L^{2}\dot\theta - a\omega L\cos\theta\sin\omega t\Big].
Derivando temporalmente (usando produto e cadeia: \frac{d}{dt}\cos\theta=-\sin\theta\,\dot\theta e \frac{d}{dt}\sin\omega t=\omega\cos\omega t):
\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta}\Big) = m\Big[L^{2}\ddot\theta + a\omega L\sin\theta\,\dot\theta\sin\omega t - a\omega^{2} L\cos\theta\cos\omega t\Big].
Em seguida:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = m a\omega L\sin\theta\sin\omega t\,\dot\theta - m g L\sin\theta,
onde o primeiro termo vem da dependência explícita de \cos\theta no termo misto de T e o segundo vem de -\partial V/\partial\theta. Agora aplicamos Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta}\Big)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=0.
Substituindo os termos (e observando que os termos com \sin\theta\,\dot\theta\sin\omega t se cancelam) obtemos a equação de movimento.

Passo 5

Fazendo as simplificações descritas, a equação de movimento fica
\boxed{L^{2}\ddot\theta + gL\sin\theta - a\omega^{2}L\cos\theta\cos\omega t = 0.}
Dividindo por L^{2} e rearranjando em forma mais familiar:
\boxed{\ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = \frac{a\omega^{2}}{L}\cos\theta\cos\omega t.}
(Isto responde o item (b). Interpretação rápida: o lado direito é um termo de forçamento proveniente do movimento do ponto de suspensão; o termo \sin\theta é a restituição gravitacional usual.)

Passo 6

Agora linearizamos para pequenas oscilações: para \theta pequeno usamos as expansões de Taylor de primeiras ordens \sin\theta\approx\theta e \cos\theta\approx 1. Substituindo na equação obtemos
\boxed{\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\theta = \frac{a\omega^{2}}{L}\cos\omega t.}
Isto é exatamente a equação de um oscilador harmônico linear de frequência natural \sqrt{g/L} forçado por uma força proporcional a \cos\omega t. (Comentário didático: a linearização é válida quando |\theta|\ll 1 em radianos; usamos as aproximações porque as séries de Taylor têm primeiro termo linear dominante.)

Passo 7

Procuramos uma solução estacionária (regime permanente, desprezando transientes) da forma \theta(t)=\theta_{0}\cos\omega t com \theta_{0} constante. Substituindo na equação linearizada:
-\omega^{2}\theta_{0}\cos\omega t + \frac{g}{L}\theta_{0}\cos\omega t = \frac{a\omega^{2}}{L}\cos\omega t.
Igualando coeficientes de \cos\omega t (força e resposta com mesma frequência) obtemos
\bigg(\frac{g}{L}-\omega^{2}\bigg)\theta_{0}=\frac{a\omega^{2}}{L}.
Daí isolamos \theta_{0}:
\boxed{\theta_{0}=\frac{a\omega^{2}}{\,g-L\omega^{2}\,}.}
(Observação: se o denominador mudar de sinal a resposta muda de fase em \pi; se o denominador for zero há ressonância.)

Passo 8

Analisando o caso \omega=\sqrt{g/L}: então g-L\omega^{2}=0 e a expressão para \theta_{0} do passo anterior diverge. Na teoria linear sem amortecimento isto significa ressonância — a amplitude cresce sem limite (no modelo linear ideal). Na prática, isso significa que perto de \omega=\sqrt{g/L} a amplitude cresce muito e a hipótese de pequenas oscilações ( \theta pequeno) deixa de ser válida; além disso, efeitos de amortecimento e não linearidades limitarão a amplitude e haverá mudança de fase (e o regime estacionário precisa incluir termos de fase ou amortecimento). Em resumo: \omega=\sqrt{g/L} é a frequência natural do pêndulo — forçar nessa frequência conduz à ressonância.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}m\Big[L^{2}\dot\theta^{2}+a^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega t - 2a\omega L\cos\theta\sin\omega t\,\dot\theta\Big] - m g L(1-\cos\theta).
(b) \displaystyle \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = \frac{a\omega^{2}}{L}\cos\theta\cos\omega t.
(c) \displaystyle \ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = \frac{a\omega^{2}}{L}\cos\omega t (para \theta pequeno).
(d) \displaystyle \theta(t)=\theta_{0}\cos\omega t,\qquad \theta_{0}=\frac{a\omega^{2}}{g-L\omega^{2}}.
(e) Para \displaystyle \omega=\sqrt{g/L} o denominador é zero: a solução linear prevê amplitude divergente (ressonância); na prática amplitude muito grande e a aproximação linear falha — amortecimento e não linearidades limitam a resposta.

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