Encontre as geodésicas de um cilindro. (Considere um ponto na superfície do cilindro. Logo: r=R )

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as geodésicas de um cilindro.”
Informações dadas e o que devemos responder:
  • Temos um cilindro de raio constante R; ou seja, na superfície consideramos r=R.
  • A tarefa é achar todas as curvas sobre essa superfície que são geodésicas (curvas localmente mais curtas / “reta” da superfície).
  • Devemos fornecer a forma paramétrica dessas geodésicas e caracterizar os casos especiais (geradores, paralelos, hélices etc.).

Passo 2

Ideia geométrica mais simples (desenvolvimento do cilindro): ensinar e aplicar.
Explicação didática do conceito que vamos usar: um cilindro é uma superfície desenvolvível, isto é, pode ser “desenrolado” numa folha plana sem distorcer distâncias (é isométrico ao plano). Uma propriedade importante: curvas que são linhas retas no plano desenvolvido correspondem a geodésicas na superfície original. Então, descobrir as geodésicas do cilindro equivale a descobrir quais curvas no plano se traduzem no cilindro — isso fica fácil porque no plano geodésicas são linhas retas. Vou mostrar o mapeamento e usar isso para obter as equações das geodésicas.

Passo 3

Construção do mapa cilindro ↔ plano e tradução de curvas:
  • Use coordenadas (\theta,z) no cilindro, com \theta ângulo polar e z altura. A parametrização do cilindro (raio R) em \mathbb{R}^3 é
\mathbf{X}(\theta,z)=\bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr).
  • Desenvolver (desenrolar) o cilindro no plano corresponde a identificar a variável linear
x = R\theta,\qquad y = z.
No plano (x,y) a métrica é euclidiana, e curvas geodésicas no plano são retas do tipo y=m x + b.
  • Voltando para as coordenadas do cilindro: se no plano tivermos y=m x + b, substituindo x=R\theta obtemos
z = m (R\theta) + b.
Logo, em termos de \theta,
z(\theta) = a\,\theta + z_0,
onde definimos a = mR e z_0 = b. Portanto as curvas na superfície têm a forma (em 3D)
\mathbf{\gamma}(\theta)=\bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;a\theta+z_0\bigr),
com a,z_0\in\mathbb{R}. Essas curvas são imagens das retas do plano desenvolvido, logo são geodésicas do cilindro.

Passo 4

Interpretação dos casos especiais e parametrização por comprimento de arco (para usar em prova):
  • Caso a=0: \mathbf{\gamma}(\theta)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z_0). Isso é um paralelo (circunferência de raio R em altura z_0). É uma geodésica (imagem de uma linha horizontal no plano desenvolvido).
  • Caso \theta=\theta_0 constante (que corresponde a m\to\infty ou à reta vertical no plano): são os geradores do cilindro, ou seja, segmentos paralelos ao eixo — também geodésicas. No nosso formato \mathbf{\gamma}(\theta) essa situação aparece se reparametrizarmos por outra variável; mais diretamente, uma geratriz pode ser escrita como
\mathbf{\sigma}(t)=(R\cos\theta_0,\;R\sin\theta_0,\;t),
que é a imagem da reta vertical x= constante no plano desenvolvido.
  • Caso geral a\neq 0: as curvas são hélices de passo constante — são geodésicas de inclinação fixa em torno do eixo.
Para parametrizar por comprimento de arco s (útil em provas): calcule o módulo de \mathbf{\gamma}'(\theta):
\mathbf{\gamma}'(\theta)=(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;a),\qquad \bigl\lVert\mathbf{\gamma}'(\theta)\bigr\rVert=\sqrt{R^{2}+a^{2}}.
Logo se quisermos parametrizar por comprimento de arco s tomamos \theta=\alpha s+\theta_0 com \alpha=1/\sqrt{R^{2}+a^{2}}. Escrevendo em termos de s damos a forma equivalente
\mathbf{\gamma}(s)=\bigl(R\cos(\alpha s+\theta_0),\;R\sin(\alpha s+\theta_0),\;\beta s+z_0\bigr),
onde os parâmetros \alpha,\beta satisfazem
R^{2}\alpha^{2}+\beta^{2}=1.
Isto mostra explicitamente que, parametrizadas por comprimento de arco, \theta e z são funções lineares de s: \theta(s)=\alpha s+\theta_0, z(s)=\beta s+z_0.

Passo 5

Derivação alternativa (curtinha) por cálculo variacional — para consolidar o entendimento:
  • Comprimento de uma curva genérica (\theta(t),z(t)) é
L=\int \sqrt{R^{2}\dot\theta^{2}+\dot z^{2}}\;dt.
  • A variável \theta não aparece explicitamente no integrando (apenas \dot\theta), logo a quantidade conjugada
p_\theta=\frac{\partial}{\partial\dot\theta}\sqrt{R^{2}\dot\theta^{2}+\dot z^{2}} =\frac{R^{2}\dot\theta}{\sqrt{R^{2}\dot\theta^{2}+\dot z^{2}}}
é constante ao longo da geodésica. Isso implica que a razão \dot z/\dot\theta é constante, i.e., z é afim em \theta: z(\theta)=a\theta+z_0. Portanto as geodésicas têm a forma encontrada antes (hélices / paralelos / geradores). Esta dedução anualiza a ideia do desenvolvimento do cilindro de forma analítica.

Resposta

\mathbf{\gamma}(\theta)=\bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;a\theta+z_0\bigr),\qquad a,z_0\in\mathbb{R},
ou, parametrizando por comprimento de arco s,
\mathbf{\gamma}(s)=\bigl(R\cos(\alpha s+\theta_0),\;R\sin(\alpha s+\theta_0),\;\beta s+z_0\bigr),
com
R^{2}\alpha^{2}+\beta^{2}=1.

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