Encontre as geodésicas de um cilindro. (Considere um ponto na superfície do cilindro. Logo: r=R )
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as geodésicas de um cilindro.”
Informações dadas e o que devemos responder:
Temos um cilindro de raio constante R; ou seja, na superfície consideramos r=R.
A tarefa é achar todas as curvas sobre essa superfície que são geodésicas (curvas localmente mais curtas / “reta” da superfície).
Devemos fornecer a forma paramétrica dessas geodésicas e caracterizar os casos especiais (geradores, paralelos, hélices etc.).
Passo 2
Ideia geométrica mais simples (desenvolvimento do cilindro): ensinar e aplicar.
Explicação didática do conceito que vamos usar: um cilindro é uma superfície desenvolvível, isto é, pode ser “desenrolado” numa folha plana sem distorcer distâncias (é isométrico ao plano). Uma propriedade importante: curvas que são linhas retas no plano desenvolvido correspondem a geodésicas na superfície original. Então, descobrir as geodésicas do cilindro equivale a descobrir quais curvas no plano se traduzem no cilindro — isso fica fácil porque no plano geodésicas são linhas retas. Vou mostrar o mapeamento e usar isso para obter as equações das geodésicas.
Passo 3
Construção do mapa cilindro ↔ plano e tradução de curvas:
Use coordenadas (\theta,z) no cilindro, com \theta ângulo polar e z altura. A parametrização do cilindro (raio R) em \mathbb{R}^3 é
com a,z_0\in\mathbb{R}. Essas curvas são imagens das retas do plano desenvolvido, logo são geodésicas do cilindro.
Passo 4
Interpretação dos casos especiais e parametrização por comprimento de arco (para usar em prova):
Caso a=0: \mathbf{\gamma}(\theta)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z_0). Isso é um paralelo (circunferência de raio R em altura z_0). É uma geodésica (imagem de uma linha horizontal no plano desenvolvido).
Caso \theta=\theta_0 constante (que corresponde a m\to\infty ou à reta vertical no plano): são os geradores do cilindro, ou seja, segmentos paralelos ao eixo — também geodésicas. No nosso formato \mathbf{\gamma}(\theta) essa situação aparece se reparametrizarmos por outra variável; mais diretamente, uma geratriz pode ser escrita como
Logo se quisermos parametrizar por comprimento de arco s tomamos \theta=\alpha s+\theta_0 com \alpha=1/\sqrt{R^{2}+a^{2}}. Escrevendo em termos de s damos a forma equivalente
Isto mostra explicitamente que, parametrizadas por comprimento de arco, \theta e z são funções lineares de s: \theta(s)=\alpha s+\theta_0, z(s)=\beta s+z_0.
Passo 5
Derivação alternativa (curtinha) por cálculo variacional — para consolidar o entendimento:
Comprimento de uma curva genérica (\theta(t),z(t)) é
L=\int \sqrt{R^{2}\dot\theta^{2}+\dot z^{2}}\;dt.
A variável \theta não aparece explicitamente no integrando (apenas \dot\theta), logo a quantidade conjugada
é constante ao longo da geodésica. Isso implica que a razão \dot z/\dot\theta é constante, i.e., z é afim em \theta: z(\theta)=a\theta+z_0. Portanto as geodésicas têm a forma encontrada antes (hélices / paralelos / geradores). Esta dedução anualiza a ideia do desenvolvimento do cilindro de forma analítica.