Considere o cone z=x^{2}+y^{2}. Parametrize a porção entre os planos z=1 e z=4 e calcule a área dessa superfície.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície
z = x^2 + y^2
que fica entre os planos \,z=1 e \,z=4.
O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização e uso da fórmula
\text{área} = \iint_D \bigl\lVert \mathbf r_u \times \mathbf r_v\bigr\rVert\,du\,dv.á

Passo 2

Escolhemos coordenadas polares para parametrizar a região projetada no plano xy. Definimos
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2\bigr),
onde r varia de \,1 a \,2 (pois z=r^2 vai de 1 a 4) e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf r_r = \bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r\bigr), \quad \mathbf r_\theta = \bigl(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\bigr).
O produto vetorial é
\mathbf r_r \times \mathbf r_\theta = \bigl(-2r^2\cos\theta,\;-2r^2\sin\theta,\;r\bigr),
cuja magnitude é
\bigl\lVert \mathbf r_r \times \mathbf r_\theta \bigr\rVert = \sqrt{4r^4 + r^2} = r\,\sqrt{1 + 4r^2}.

Passo 4

A área da superfície é
\text{área} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2} r\,\sqrt{1 + 4r^2}\;dr\,d\theta = 2\pi \int_{1}^{2} r\,\sqrt{1 + 4r^2}\;dr.á

Passo 5

Fazemos a substituição u = 1 + 4r^2, de modo que du = 8r\,dr e r\,dr = du/8. Então
\int r\,\sqrt{1 + 4r^2}\;dr = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\,\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{(1 + 4r^2)^{3/2}}{12}.
Avaliada de r=1 a r=2, isso dá
\biggl[\frac{(1 + 4r^2)^{3/2}}{12}\biggr]_{1}^{2} = \frac{17^{3/2} - 5^{3/2}}{12}.
Multiplicando por 2\pi, obtemos
\text{área} = 2\pi \cdot \frac{17^{3/2} - 5^{3/2}}{12} = \frac{\pi}{6}\,\bigl(17^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).á

Resposta

A área da superfície é
\frac{\pi}{6}\,\bigl(17^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).

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