Considere o cone
. Parametrize a porção entre os planos
e
e calcule a área dessa superfície.
Passo 1
O enunciado pede a área da porção da superfície
que fica entre os planos
e
.
O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização e uso da fórmula
O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização e uso da fórmula
Passo 2
Escolhemos coordenadas polares para parametrizar a região projetada no plano
. Definimos
onde
varia de
a
(pois
vai de
a
) e
varia de
a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial é
cuja magnitude é
Passo 4
A área da superfície é
Passo 5
Fazemos a substituição
, de modo que
e
. Então
Avaliada de
a
, isso dá
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
A área da superfície é