Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1;

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
x^{2} + 2\,y^{2} + 3\,z^{2} = 1.
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3. Vamos reconhecer a forma geral, encontrar os semi-eixos principais e, a partir daí, saber exatamente como esboçar o sólido.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão dividindo tudo por 1, temos
\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\tfrac12} + \frac{z^{2}}{\tfrac13} \;=\; 1.
Isto mostra que se trata de um elipsoide centralizado na origem, com semi-eixo em x de comprimento
a = 1,
em y de comprimento
b = \frac{1}{\sqrt{2}},
e em z de comprimento
c = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Para confirmar e ajudar no esboço, determinamos as interseções com os planos coordenados:
  1. Em y=0 e z=0 sobra x^{2}=1, logo os pontos \bigl(\pm1,0,0\bigr).
  2. Em x=0 e z=0 sobra 2\,y^{2}=1, logo \bigl(0,\pm\tfrac1{\sqrt2},0\bigr).
  3. Em x=0 e y=0 sobra 3\,z^{2}=1, logo \bigl(0,0,\pm\tfrac1{\sqrt3}\bigr).

Passo 4

Analisando secções planas:
  • Para z=0 a curva é
x^{2} + 2\,y^{2} = 1,
um elipse com semi-eixos 1 e 1/\sqrt2.
  • Para y=0 a curva é
x^{2} + 3\,z^{2} = 1,
um elipse com semi-eixos 1 e 1/\sqrt3.
  • Para x=0 a curva é
2\,y^{2} + 3\,z^{2} = 1,
outro elipse com semi-eixos 1/\sqrt2 e 1/\sqrt3.
Isso confirma que em todas as direções há achatamento diferente, formando um elipsoide.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x, y e z num sistema de perspectiva.
  2. Marque nos eixos os pontos \pm1 em x, \pm1/\sqrt2\approx\pm0,707 em y e \pm1/\sqrt3\approx\pm0,577 em z.
  3. Ligue suavemente essas intersecções formando elipses nas três direções principais.
  4. Preencha a forma resultante, mantendo simetria em torno dos três eixos.

Resposta

A superfície é um elipsoide centralizado na origem com semi-eixos
a = 1,\quad b = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad c = \frac{1}{\sqrt{3}},
intersecando os eixos em (\pm1,0,0), (0,\pm1/\sqrt2,0) e (0,0,\pm1/\sqrt3). O esboço consiste em desenhar essas elipses de secção e contornar o sólido simétrico.

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