Seja S a parte superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 cortada pelo plano horizontal z=1. Calcule sua área utilizando integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que fica acima do plano z=1. Isso é uma “calota” esférica. Vamos usar a fórmula de área de superfície dada por
S=\iint_{D}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy,
onde z=z(x,y) é a função da projeção no plano xy e D é a região de projeção dessa calota.

Passo 2

Da esfera temos z=\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}}. Calculamos as derivadas parciais:
z_x = -\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}}}, \quad z_y = -\frac{y}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}}}.
Logo,
1+z_x^2+z_y^2 =1+\frac{x^2+y^2}{9 - x^2-y^2} =\frac{9}{9 - (x^2+y^2)}.
Portanto o integrando fica
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} =\frac{3}{\sqrt{9 - (x^2+y^2)}}.

Passo 3

A região D é a projeção da calota no plano xy, dada por
\sqrt{9 - (x^2+y^2)}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2\le8.
Ou seja, D é o disco de raio \sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) temos x^2+y^2=r^2 e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. Então
S =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{3}{\sqrt{9 - r^2}}\;r\,dr\,d\theta =3\cdot2\pi\int_{0}^{2\sqrt{2}}\frac{r}{\sqrt{9 - r^2}}\,dr.

Passo 5

Para calcular
I=\int_{0}^{2\sqrt{2}}\frac{r}{\sqrt{9 - r^2}}\,dr
fazemos u=9-r^2, du=-2r\,dr, então
I =-\tfrac12\int_{u=9}^{u=9-8}u^{-1/2}\,du =-\tfrac12\bigl[2u^{1/2}\bigr]_{9}^{1} =-\bigl(\sqrt{1}-\sqrt{9}\bigr) =2.

Passo 6

Voltando,
S =3\cdot2\pi\cdot I =6\pi\cdot2 =12\pi.

Resposta

A área da calota esférica é 12\pi.

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