Seja
a parte superior da esfera
cortada pelo plano horizontal
. Calcule sua área utilizando integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera
que fica acima do plano
. Isso é uma “calota” esférica. Vamos usar a fórmula de área de superfície dada por
onde
é a função da projeção no plano
e
é a região de projeção dessa calota.
Passo 2
Da esfera temos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Portanto o integrando fica
Passo 3
A região
é a projeção da calota no plano
, dada por
Ou seja,
é o disco de raio
.
Passo 4
Em coordenadas polares
temos
e
. Então
Passo 5
Para calcular
fazemos
,
, então
Passo 6
Voltando,
Resposta
A área da calota esférica é
.