Calcule \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S, sendo S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com z \geqslant 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS
sobre o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com z\ge0.
O conteúdo envolve integral de superfície em coordenadas esféricas e a fórmula do elemento de área de uma esfera.
Passo 2
Vamos usar a parametrização em coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = a\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = a\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = a\cos\varphi, \end{cases}
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (hemisfério superior) e \theta\in[0,2\pi].
O elemento de área é
dS = a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
Na parametrização, x^{2}+y^{2} = a^{2}\sin^{2}\varphi.
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