Calcule \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S, sendo S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com z \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS
sobre o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com z\ge0.
O conteúdo envolve integral de superfície em coordenadas esféricas e a fórmula do elemento de área de uma esfera.

Passo 2

Vamos usar a parametrização em coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = a\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = a\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = a\cos\varphi, \end{cases}
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (hemisfério superior) e \theta\in[0,2\pi].
O elemento de área é
dS = a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Na parametrização, x^{2}+y^{2} = a^{2}\sin^{2}\varphi.
Logo a integral vira
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(a^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)\,\bigl(a^{2}\sin\varphi\,\bigr)\,d\varphi\,d\theta = a^{4}\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\!\sin^{3}\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = \frac{2}{3}
(usar redução \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\varphi\,d\varphi = \frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}\varphi\,d\varphi).

Passo 5

Substituindo,
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = a^{4}\,(2\pi)\,\frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}\,a^{4}.

Resposta

\frac{4\pi}{3}\,a^{4}.

Exercícios relacionados