Considere uma configuração formada por três cargas puntiformes, todas elas com carga q, localizadas, inicialmente, nos vértices de um triângulo equilátero de lado a.
(a) Determine a energia potencial eletrostática associada a essa configuração.
(b) Encontre o trabalho realizado por uma força externa para aproximar essas cargas de modo que elas formem um triângulo equilátero de lado a / 2. Explique detalhadamente seu procedimento. Este trabalho é positivo ou negativo? Interprete.
(c) Qual deve ser o trabalho realizado pelo campo elétrico para remover uma das cargas elétricas do vértice deste novo triângulo até uma distância infinitamente grande das outras duas cargas? Este trabalho é positivo ou negativo? Interprete.

Passo 1

O enunciado trata de três cargas puntiformes, cada uma com carga q, nos vértices de um triângulo equilátero de lado a.
(a) Pede-se a energia potencial eletrostática inicial dessa configuração.
(b) Depois, o trabalho realizado por uma força externa para aproximar as cargas até formarem um triângulo equilátero de lado a/2.
(c) Finalmente, o trabalho que o campo elétrico realiza ao remover uma das cargas desse novo triângulo até o infinito.
Vamos usar que, para cargas puntuais, a energia potencial é dada pela soma sobre pares:
U \;=\;\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}
e que, num processo quasi-estático, o trabalho da força externa é \Delta U, enquanto o trabalho do campo é W_{\rm campo}=-\Delta U.

Passo 2

Calcular a energia potencial inicial U_i. Há três pares de cargas iguais q separadas pela mesma distância a, logo
U_i \;=\;3\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{a} \;=\; \frac{3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}.

Passo 3

Comprimir o triângulo de lado a para lado a/2 leva a uma nova energia potencial
U_f = 3\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{a/2} = 3\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2q^2}{a} = \frac{6\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}.
O trabalho da força externa é
W_{\rm ext} =\Delta U =U_f - U_i = \frac{6\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a} - \frac{3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a} = \frac{3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a},
que é positivo, pois é preciso realizar trabalho contra a repulsão para aproximar cargas de mesmo sinal.

Passo 4

Agora, do triângulo de lado a/2, removemos uma carga até o infinito.
  • Energia inicial dessa configuração (antes de remover): U_{\rm init}=6\,q^2/(4\pi\varepsilon_0\,a).
  • Depois de levar a carga ao infinito, sobra apenas um par de cargas separadas por a/2, com energia
U_{\rm final} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{a/2} = \frac{2\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}.
Logo a variação \Delta U=U_{\rm final}-U_{\rm init}=-\,\frac{4\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}.
O trabalho realizado pelo campo é
W_{\rm campo} =-\Delta U = +\frac{4\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a},
positivo, pois o campo repelente auxilia na remoção da carga, diminuindo a energia potencial do sistema.

Resposta

(a) \displaystyle U_i=\frac{3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}.
(b) \displaystyle W_{\rm ext}=\frac{3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}, positivo.
(c) \displaystyle W_{\rm campo}=\frac{4\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}, positivo.

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