Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
(i) ( ) O campo elétrico é sempre conservativo.
(ii) ( ) O campo elétrico nos pontos pertencentes a uma superfície equipotencial é sempre uniforme.
(iii) ( ) Se soubermos que em um determinado ponto P do espaço o potencial vale V_{0}=10 \mathrm{~V}, podemos afirmar que certamente o campo elétrico neste mesmo ponto P é \vec{E}=\overrightarrow{0}, pois \vec{E}=-\nabla V.
(iv) ( ) Um dipolo elétrico, formado pelas cargas q (positiva) e -q separadas por uma distância fixa d, encontra-se em uma região onde há um campo eletrostático uniforme \vec{E}. Inicialmente, o dipolo aponta na mesma direção e no mesmo sentido que o campo. O dipolo é girado de 180^{0} até ficar antiparalelo ao campo (mesma direção que \vec{E}, mas sentido oposto). O trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre o dipolo, nesse processo, foi positivo.
Considere a situação (I): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados está fixada uma partícula. São duas partículas de carga +q e duas partículas de carga -q. Sobre as configurações possíveis, são realizadas as seguintes afirmativas:
(v) ( ) O campo elétrico gerado por essas cargas no centro deste quadrado é sempre nulo.
(vi) ( ) O potencial eletrostático gerado por essas cargas no centro deste quadrado é sempre nulo.
Considere a situação (II): em cada um dos vértices de dois quadrados de lados L e L^{\prime}=f L, está fixada uma partícula de carga q. Chamamos a configuração de cargas formada pelo quadrado de lado L de configuração 1 e a configuração formada pelo quadrado de lado L^{\prime} de configuração 2. A energia potencial eletrostática associada à configuração 1 vale U e a energia potencial eletrostática associada à configuração 2 vale U^{\prime}. São realizadas as seguintes afirmativas:
(vii) ( ) U^{\prime}=U / f.
(viii) ( ) A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é U+U^{\prime}.
(ix)( ) O trabalho realizado pelo campo eletrostático para modificar a configuração 1 de modo que a disposição final das partículas seja equivalente à configuração 2 é positivo.

Passo 1

O enunciado apresenta nove afirmativas sobre campo elétrico, potencial, superfícies equipotenciais, dipolos e energia potencial de configurações de cargas. O conteúdo necessário envolve:
– Propriedade de conservatividade do campo eletrostático ( \nabla \times \mathbf{E}=0).
– Relação \mathbf{E}=-\nabla V e superfícies equipotenciais.
– Trabalho sobre dipolo em campo uniforme: U=-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}.
– Superposição de campos e potenciais no centro de um quadrado de cargas.
– Energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas e seu escalonamento U\propto1/\text{distância}â.

Passo 2

(i) “O campo elétrico é sempre conservativo.”
Em eletrostática temos de fato \nabla\times\mathbf{E}=0, mas em presença de campos magnéticos variáveis \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t\neq0. Logo, nem todo campo elétrico (geralmente dependente de \mathbf{B}(t)) é conservativo.

Passo 3

(ii) “O campo elétrico nos pontos pertencentes a uma superfície equipotencial é sempre uniforme.”
Uma superfície equipotencial satisfaz V=\text{constante} de modo que \mathbf{E} é sempre perpendicular à superfície, mas sua magnitude pode variar de ponto a ponto. Portanto não é necessariamente uniforme.

Passo 4

(iii) “Se em P vale V_{0}=10\text{ V}, então \mathbf{E}(P)=\mathbf{0}, pois \mathbf{E}=-\nabla V.”
Conhecer o valor absoluto de V num ponto não dá informação sobre seu gradiente ali. Sem saber como V varia em torno de P, não podemos afirmar que \nabla V=0.

Passo 5

(iv) “Dipolo elétrico inicialmente alinhado com \mathbf{E} é girado 180° até ficar anti-paralelo; o trabalho das forças eletrostáticas foi positivo.”
A energia potencial de um dipolo é
U=-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}=-pE\cos\theta.
Para \theta=0 tem-se U_{\rm i}=-pE e para \theta=180^\circ tem-se U_{\rm f}=+pE. Logo, \Delta U=2pE>0 e o trabalho feito pelo campo é
W_{\rm campo}=-\Delta U=-2pE<0.

Passo 6

(v) “O campo elétrico gerado por duas cargas +q e duas cargas -q nos vértices de um quadrado é sempre nulo no centro.”
Dependendo da disposição das cargas, não há, em geral, cancelamento vetorial total de \mathbf{E}. Basta escolher uma configuração sem simetria que zere os êxitos.
(vi) “O potencial eletrostático gerado por essas cargas no centro é sempre nulo.”
Como todas estão à mesma distância r do centro,
V=\sum_i\frac{kq_i}{r}=\frac{k}{r}\bigl(+q+q- q- q\bigr)=0.

Passo 7

(vii) “Em um quadrado de lado L a energia é U e em um quadrado escalado fL é U'; então U'=U/f.”
Todas as distâncias entre pares aumentam por fator f, e como cada termo de energia \propto1/r, segue U'=U/f.

Passo 8

(viii) “A energia potencial eletrostática associada às oito cargas é U+U'.”
Ao juntar as duas configurações surgem termos de interação cruzada entre cargas de quadrados diferentes; não se limita a somar apenas U e U'.

Passo 9

(ix) “O trabalho realizado pelo campo para transformar a configuração 1 em 2 é positivo.”
Como U'=U/f<U, a variação \Delta U=U'-U<0. O trabalho do campo é
W_{\rm campo}=-\Delta U=U-U'>0.

Resposta

(i) Falso
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Falso
(v) Falso
(vi) Verdadeiro
(vii) Verdadeiro
(viii) Falso
(ix) Verdadeiro

Exercícios relacionados