Considere uma haste de comprimento
e densidade linear de carga uniforme
. Suponha que os eixos cartesianos foram escolhidos de modo que a haste esteja orientada ao longo do eixo
com uma
das extremidades na origem desse eixo. A outra extremidade está localizada sobre o ponto
. Considere o potencial igual a zero em um ponto infinitamente afastado da origem.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo
,
.
(b) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo
,
.
(c) A partir do resultado obtido nos itens anteriores, encontre o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo
.
(d) Você pode utilizar o resultado do item (b) para determinar o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo
? Por quê?
(e) Como se reduzem os resultados dos itens (a) e (b) quando
e
? Interprete fisicamente sua resposta.
das extremidades na origem desse eixo. A outra extremidade está localizada sobre o ponto
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo
(b) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo
(c) A partir do resultado obtido nos itens anteriores, encontre o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo
(d) Você pode utilizar o resultado do item (b) para determinar o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo
(e) Como se reduzem os resultados dos itens (a) e (b) quando
Passo 1
O enunciado fala de uma haste carregada, de comprimento
e densidade linear de carga
, estendida de
até
sobre o eixo
. Queremos usar a definição de potencial eletrostático como superposição de pequenos contribuições
com
e
a distância entre o elemento
e o ponto de interesse. No item (a) o ponto fica em
sobre o próprio eixo
; no (b) o ponto está em
sobre
; no (c) obtemos o campo por
; no (d) discutimos se dá para usar
para achar
; e no (e) fazemos o limite
e
.
Passo 2
(a) No ponto
com
, cada elemento em
gera distância
. Como
para todo
, temos
Fazendo a integral
logo
Passo 3
(b) No ponto
com
, a distância é
. Assim
Em
entra
, e em
entra
. Logo
Passo 4
(c) Sobre o eixo
com
, o campo tem só componente
. A partir de
obtemos
O vetor campo é
.
Passo 5
(d) Sim, no próprio eixo
o potencial
é função unidimensional de
, e em regiões sem carga vale
. Como fora da haste só existe variação em
, basta
usando a expressão de
. Contudo isso vale somente sobre o eixo
, pois fora dele não conhecemos
completo.
Passo 6
(e) Para
expandimos
onde
. De modo análogo, para
Fisicamente, a haste vista de muito longe comporta-se como uma carga pontual total
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim. Em pontos sobre
basta fazer
, pois
em região sem carga.
(e) Para e
,
(e) Para
ou seja, a haste se reduz a uma carga pontual
.