Considere uma haste de comprimento \ell e densidade linear de carga uniforme \lambda. Suponha que os eixos cartesianos foram escolhidos de modo que a haste esteja orientada ao longo do eixo \mathcal{O} \mathcal{X} com uma
das extremidades na origem desse eixo. A outra extremidade está localizada sobre o ponto (-\ell, 0). Considere o potencial igual a zero em um ponto infinitamente afastado da origem.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo \mathcal{O} \mathcal{X}, \operatorname{com} x>0.
(b) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático em um ponto genérico do eixo \mathcal{O Y}, \operatorname{com} y \neq 0.
(c) A partir do resultado obtido nos itens anteriores, encontre o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo \mathcal{O} \mathcal{X}, \operatorname{com} x>0.
(d) Você pode utilizar o resultado do item (b) para determinar o campo eletrostático em um ponto genérico do eixo \mathcal{O} \mathcal{Y} ? Por quê?
(e) Como se reduzem os resultados dos itens (a) e (b) quando x \gg \ell e y \gg \ell ? Interprete fisicamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado fala de uma haste carregada, de comprimento \ell e densidade linear de carga \lambda, estendida de x'=-\ell até x'=0 sobre o eixo OX. Queremos usar a definição de potencial eletrostático como superposição de pequenos contribuições
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{r}
com dq=\lambda\,dx' e r a distância entre o elemento dx' e o ponto de interesse. No item (a) o ponto fica em x>0 sobre o próprio eixo OX; no (b) o ponto está em (0,y) sobre OY; no (c) obtemos o campo por E=-dV/dx; no (d) discutimos se dá para usar V(y) para achar E(y); e no (e) fazemos o limite x\gg\ell e y\gg\ell.

Passo 2

(a) No ponto (x,0) com x>0, cada elemento em x' gera distância \,r=|x-x'|. Como x-x'>0 para todo x'\in[-\ell,0], temos
V(x) =\int_{-\ell}^{0}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\lambda\,dx'}{x-x'} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\ell}^{0}\frac{dx'}{x-x'}.
Fazendo a integral
\int_{-\ell}^{0}\frac{dx'}{x-x'} =\ln\bigl(x - (-\ell)\bigr)-\ln\bigl(x-0\bigr) =\ln\frac{x+\ell}{x},
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V(x)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\ln\frac{x+\ell}{x}.

Passo 3

(b) No ponto (0,y) com y\neq0, a distância é \,r=\sqrt{x'^{2}+y^{2}}. Assim
V(y) =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\ell}^{0}\frac{dx'}{\sqrt{x'^{2}+y^{2}}} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\ln\bigl(x'+\sqrt{x'^{2}+y^{2}}\bigr)\Bigr]_{-\,\ell}^{0}.
Em x'=0 entra \ln(y), e em x'=-\ell entra \ln(-\ell+\sqrt{\ell^{2}+y^{2}}). Logo
V(y)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{y}{\sqrt{\ell^{2}+y^{2}}-\ell} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{\ell^{2}+y^{2}}+\ell}{y}\Bigr).

Passo 4

(c) Sobre o eixo OX com x>0, o campo tem só componente E_x=-dV/dx. A partir de \,V(x)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{x+\ell}{x} obtemos
E_x =-\frac{dV}{dx} =-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{x+\ell}-\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\ell}\Bigr).
O vetor campo é \mathbf{E}=E_x\,\hat{\mathbf{i}}.

Passo 5

(d) Sim, no próprio eixo OY o potencial V(y) é função unidimensional de y, e em regiões sem carga vale \mathbf{E}=-\nabla V. Como fora da haste só existe variação em y, basta
E_y=-\frac{dV}{dy}
usando a expressão de V(y). Contudo isso vale somente sobre o eixo OY, pois fora dele não conhecemos V(x,y) completo.

Passo 6

(e) Para x\gg\ell expandimos
V(x)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\Bigl(1+\frac{\ell}{x}\Bigr)\approx\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\ell}{x} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,x},
onde Q=\lambda\ell. De modo análogo, para y\gg\ell
V(y)\approx\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\ell}{y} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,y}.
Fisicamente, a haste vista de muito longe comporta-se como uma carga pontual total Q.

Resposta

(a)
V(x)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\ln\frac{x+\ell}{x},\quad x>0.
(b)
V(y)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{\ell^{2}+y^{2}}+\ell}{y}\Bigr),\quad y\neq0.
(c)
E_x=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\ell}\Bigr),\quad\mathbf{E}=E_x\,\hat{\mathbf{i}}.
(d) Sim. Em pontos sobre OY basta fazer E_y=-dV/dy, pois \mathbf{E}=-\nabla V em região sem carga.
(e) Para x\gg\ell e y\gg\ell,
V\approx\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r},\quad r=x\text{ ou }y,
ou seja, a haste se reduz a uma carga pontual Q=\lambda\ell.

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