Considere o conjumto B=(-1,3,1),(1,-2,4) determine:

a) O subespaço gerado por B;
h) O valor de k in R para que o vetor v=(5, k, 9) pertença ao subespaço gerado por B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=(-1,3,1),(1,-2,4)subset R^3 e pede:
a) uma descrição do subespaço por eles gerado (ou seja, span(B)),
b) o valor de kinR para que v=(5,k,9) pertença a esse subespaço.
Vamos usar a definição de subespaço gerado como todas as combinações lineares dos vetores de B e depois achar uma equação que caracterize esse plano em R^3.

Passo 2

Por definição,
span(B) = lalpha(-1,3,1)+beta(1,-2,4);m|;alpha,betainRr
Isto significa que um vetor genérico (x,y,z)inspan(B) satisfaz
(x,y,z) = (-alpha+beta,;3alpha-2beta,;alpha+4beta)

Passo 3

Para descrever esse conjunto como solução de uma equação linear, resolvemos para alpha,beta em função de x,y,z.
Das duas primeiras coordenadas:
x=-alpha+beta, z=alpha+4beta
Somando as duas: x+z = (-alpha+beta)+(alpha+4beta)=5beta, logo
beta = x+z5
Em seguida,
alpha = z - 4beta = z - 4x+z5 = z-4x5
Agora impomos a segunda coordenada:
y = 3alpha -2beta = 3z-4x5 -2x+z5 = 3z-12x -2x-2z5 = -14x+z5
Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos
5y = -14x + z Long<=ftrightarrow 14x + 5y - z = 0
Logo
span(B) = l(x,y,z)inR^3 mid 14x +5y - z =0r

Passo 4

Para que v=(5,k,9) pertença a esse subespaço, basta que
14cdot 5 ;+;5,k ;-;9 ;=;0
Calculando,
70 +5k -9 =0 Longrightarrow 5k = -61 Longrightarrow k = -615

Resposta

(a) span(B)=(x,y,z)inR^3mid 14x+5y-z=0
(b) k = -615

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