Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(b) Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
é solução de
.
(c) Se
é matriz
, então
possui infinitas soluções.
(d) Se
é simétrica então
para toda matriz
16. Dada a matriz
, abaixo, encontre
tal que o sistema
não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal
no caso geral de uma matrix
com número de posições pivôs menor que
.
(a) Se o sistema linear
(b) Se
(c) Se
(d) Se
16. Dada a matriz
Passo 1
O enunciado pede para cada afirmação sobre sistemas lineares decidir se é verdadeira ou falsa. Usaremos conceitos de posto (rank), espaço nulo (nullspace) e espaço coluna (coluna de A), além de propriedades de matrizes simétricas. No item
falta a matriz
fornecida, então não podemos achar um
específico, mas podemos indicar o procedimento geral quando o número de pivôs é menor que
.
Passo 2
(a) Falsa.
Se tem mais de uma solução, seu espaço nulo tem dimensão
, logo . Mas isso não garante que , ou seja, o espaço coluna de
pode não preencher
. Contra-exemplo:
Se
Então
tem infinitas soluções, mas
não admite solução se, por exemplo,
, pois
.
Passo 3
(b) Falsa.
Suponha em
e
satisfaz
. Então
Suponha
(em geral
não é igual a
), logo
não é solução de
salvo no caso degenerado
.
Passo 4
(c) Verdadeira.
Se é
, então . Pela fórmula , tem-se
, ou seja, o sistema homogêneo
tem dimensão do espaço nulo pelo menos
e, portanto, infinitas soluções.
Se
Passo 5
(d) Falsa.
Matriz simétrica não comuta com toda matriz
. Basta contra-exemplo em
:
Matriz simétrica
Então
e
.
Passo 6
Item
: o enunciado menciona “Dada a matriz
, abaixo, encontre
…" mas esta matriz não foi fornecida, portanto não há como determinar um
específico.
Entretanto, procedimento geral quando é
e tem menos de
pivôs:
. Leve
a forma escalonada por linhas.
. Identifique as linhas que ficaram todas nulas (essas correspondem a equações
no homogêneo).
. Para tornar
inconsistente, escolha
de modo que naquelas linhas nulas da forma escalonada o respectivo componente de
seja não nulo.
Então, ao tentar resolver, surgirá uma equação com
, gerando inconsistência e, portanto, sem solução.
Entretanto, procedimento geral quando
Então, ao tentar resolver, surgirá uma equação
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa