Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.
(c) Se A é matriz 4 times 7, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n
16. Dada a matriz A, abaixo, encontre B tal que o sistema A X=B não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal B no caso geral de uma matrix m times n com número de posições pivôs menor que m.

Passo 1

O enunciado pede para cada afirmação sobre sistemas lineares decidir se é verdadeira ou falsa. Usaremos conceitos de posto (rank), espaço nulo (nullspace) e espaço coluna (coluna de A), além de propriedades de matrizes simétricas. No item 16 falta a matriz A fornecida, então não podemos achar um B específico, mas podemos indicar o procedimento geral quando o número de pivôs é menor que m.

Passo 2

(a) Falsa.
Se tem mais de uma solução, seu espaço nulo tem dimensão , logo . Mas isso não garante que , ou seja, o espaço coluna de pode não preencher . Contra-exemplo:
Então tem infinitas soluções, mas não admite solução se, por exemplo, , pois .

Passo 3

(b) Falsa.
Suponha X1 em ker(A) e Y1 satisfaz A Y1=B. Então
A(2X1+3Y1)=2A X1+3A Y1=20+3B=3Bneq B
(em geral 3B não é igual a B), logo 2X1+3Y1 não é solução de AX=B salvo no caso degenerado B=0.

Passo 4

(c) Verdadeira.
Se é , então . Pela fórmula , tem-se , ou seja, o sistema homogêneo tem dimensão do espaço nulo pelo menos e, portanto, infinitas soluções.

Passo 5

(d) Falsa.
Matriz simétrica A não comuta com toda matriz B. Basta contra-exemplo em 2times2:
A=1&00&2, B=0&10&0
Então
AB=0&10&0, BA=0&20&0,
e ABneq BA.

Passo 6

Item 16: o enunciado menciona “Dada a matriz A, abaixo, encontre B…" mas esta matriz não foi fornecida, portanto não há como determinar um B específico.
Entretanto, procedimento geral quando A é mtimes n e tem menos de m pivôs:
1. Leve A a forma escalonada por linhas.
2. Identifique as linhas que ficaram todas nulas (essas correspondem a equações 0=0 no homogêneo).
3. Para tornar AX=B inconsistente, escolha BinR^m de modo que naquelas linhas nulas da forma escalonada o respectivo componente de B seja não nulo.
Então, ao tentar resolver, surgirá uma equação 0 = bi com bineq0, gerando inconsistência e, portanto, sem solução.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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