Verifique em cada caso, se W é um subespa?o vetorial de R^3 :
W=(x, y, z) ; z=y-x

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid z = y - x
Para mostrar que W é subespaço vetorial de R^3, precisamos verificar três propriedades:
  1. 0in W;
  2. se u,vin W então u+vin W;
  3. se uin W e alphainR então alpha,uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo 0=(0,0,0). Aqui z=0 e y-x=0-0=0, logo
0 = y - x
e 0in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1)in W e v=(x2,y2,z2)in W. Como cada um satisfaz zi = yi - xi, temos
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Mas
z1+z2 = (y1 - x1) + (y2 - x2) = (y1+y2) - (x1+x2),
logo u+v também satisfaz a condição de W e fica em W.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x,y,z)in W com z=y-x. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Como alpha z = alpha(y - x) = (alpha y) - (alpha x), vemos que alpha,u satisfaz a mesma equação e pertence a W.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de R^3.

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