Dada a matriz A, abaixo, encontre B tal que o sistema A X=B não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal B no caso geral de uma matrix m times n com número de posições pivôs menor que m.
A=(cccc2 & 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 4)

Passo 1

O enunciado pede um vetor BinR^4 tal que o sistema
A X = B
não tenha solução. Aqui o conteúdo é análise de consistência de sistemas lineares: sabemos que um sistema A X=B é consistente se, e somente se, B pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A. Se rank(A)<4, esse espaço é estritamente menor que R^4 e podemos escolher B fora dele para tornar o sistema impossível.

Passo 2

Vamos calcular rank(A) por eliminação de Gauss. Começando com
A= 2 & 1 & 1 & -1 -1& 1 & 0 & 2 3 & 0 & 0 & 0 -1& 2 & 0 & 4 ,
usamos a primeira linha como pivô para zerar abaixo, depois a segunda e a terceira. Ao final obtemos uma linha nula, mostrando que
rank(A)=3<4

Passo 3

Como rank(A)=3<4, existe um vetor não-nulo w=(w1,w2,w3,w4)^T tal que
w^T A = 0^T
Resolvendo esse sistema (ou usando transposta) obtemos, por exemplo,
w = 061-3,
pois de fato w^TA=0^T.

Passo 4

A condição de consistência de A X=B é
w^T B = 0
Para tornar o sistema impossível basta escolher B tal que
w^T B neq 0
Por exemplo, tomando
B = 0001,
temos
w^T B = 0cdot0 + 6cdot0 + 1cdot0 + (-3)cdot1 = -3 neq 0,
logo A X=B não admite solução.

Passo 5

Procedimento geral para uma matriz mtimes n com rank(A)=r<m:\n
1. Encontre uma base do núcleo à esquerda, ou seja, vetores wneq0 tais que w^T A=0^T.\n
2. Qualquer vetor BinR^m satisfaz A X=B só se w^T B=0 para todo w da base do núcleo à esquerda.\n
3. Basta escolher B que viole essa condição (isto é, w^T Bneq0 para algum w) para garantir que o sistema seja inconsistente.

Resposta

B=0001

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