Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que .
Passo 1
O enunciado pede um vetor BinR^4 tal que o sistema
A X = B
não tenha solução. Aqui o conteúdo é análise de consistência de sistemas lineares: sabemos que um sistema A X=B é consistente se, e somente se, B pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A. Se rank(A)<4, esse espaço é estritamente menor que R^4 e podemos escolher B fora dele para tornar o sistema impossível.
Passo 2
Vamos calcular rank(A) por eliminação de Gauss. Começando com
Procedimento geral para uma matriz mtimes n com rank(A)=r<m:\n 1. Encontre uma base do núcleo à esquerda, ou seja, vetores wneq0 tais que w^T A=0^T.\n 2. Qualquer vetor BinR^m satisfaz A X=B só se w^T B=0 para todo w da base do núcleo à esquerda.\n 3. Basta escolher B que viole essa condição (isto é, w^T Bneq0 para algum w) para garantir que o sistema seja inconsistente.