Considere o conjunto e o campo vetorial
, se
. Mostre que
.
Passo 1
Estamos com o conjunto
e o campo vetorial
. O que precisamos mostrar é que a divergência
e o rotacional
(no sentido escalar em 2D) são ambos zero em todo ponto de
, usando definições que envolvem derivadas parciais.
Passo 2
Para calcular a divergência, lembramos que para
em
vale
Aqui
Derivando em relação a
e
obtemos
Somando,
Passo 3
Para o rotacional escalar em 2D usamos
Calculando cada termo:
Logo,
Passo 4
Concluímos que em todo ponto de
vale tanto
como
, conforme pedido.