Considere o conjunto e o campo vetorial S=(x, y) in R^2 mid(x, y) neq, se (0,0). Mostre que u=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j.

Passo 1

Estamos com o conjunto S=(x,y)inR^2mid(x,y)neq(0,0) e o campo vetorial u(x,y)=l(-tfracyx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r). O que precisamos mostrar é que a divergência nablacdotu e o rotacional nablatimesu (no sentido escalar em 2D) são ambos zero em todo ponto de S, usando definições que envolvem derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular a divergência, lembramos que para u=(u1,u2) em R^2 vale
nablacdotu=partial u1partial x+partial u2partial y
Aqui
u1(x,y)=-yx^2+y^2, u2(x,y)=xx^2+y^2
Derivando em relação a x e y obtemos
partial u1partial x=-ycdotpartialpartial x(x^2+y^2)^-1=2xy(x^2+y^2)^2,
partial u2partial y=xcdotpartialpartial y(x^2+y^2)^-1=-2xy(x^2+y^2)^2
Somando,
nablacdotu=2xy(x^2+y^2)^2-2xy(x^2+y^2)^2=0

Passo 3

Para o rotacional escalar em 2D usamos
nablatimesu=partial u2partial x-partial u1partial y
Calculando cada termo:
partial u2partial x=partialpartial xl[x(x^2+y^2)^-1r]=1x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial u1partial y=partialpartial yl[-y(x^2+y^2)^-1r]=-1x^2+y^2+2y^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2
Logo,
nablatimesu=y^2-x^2(x^2+y^2)^2-y^2-x^2(x^2+y^2)^2=0

Passo 4

Concluímos que em todo ponto de S vale tanto nablacdotu=0 como nablatimesu=0, conforme pedido.

Resposta

nablacdotu=0 e nablatimesu=0.

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