Mostre que:
Se o potencial magnético A é dado por A= 12(u nabla v-v nabla u), então o campo magnético B= nabla times A é dado por nabla u times nabla v.

Passo 1

O enunciado diz que o potencial magnético é dado por A=tfrac12l(u,nabla v - v,nabla ur) e pede para mostrar que B=nablatimesA=nabla utimesnabla v. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, em particular a propriedade do rotacional de um produto escalar por um campo vetorial.

Passo 2

Vamos usar a identidade vetorial
nablatimes(phi,F)=nablaphitimesF+phi,nablatimesF
onde phi é um escalar e F um campo vetorial.

Passo 3

Aplicamos essa identidade ao termo nablatimes(u,nabla v). Como phi=u e F=nabla v, e sabendo que nablatimes(nabla v)=0, temos:
nablatimes(u,nabla v)=nabla utimesnabla v + u,(nablatimesnabla v)=nabla utimesnabla v

Passo 4

Agora aplicamos ao termo nablatimes(v,nabla u). Aqui phi=v e F=nabla u. De novo nablatimesnabla u=0, então
nablatimes(v,nabla u)=nabla vtimesnabla u + v,(nablatimesnabla u)=nabla vtimesnabla u
Mas nabla vtimesnabla u=-l(nabla utimesnabla vr).

Passo 5

Finalmente, juntamos tudo no rotacional de A:
nablatimesA=tfrac12l[nablatimes(u,nabla v)-nablatimes(v,nabla u)r] =tfrac12l[nabla utimesnabla v-l(-nabla utimesnabla vr)r] =nabla utimesnabla v

Resposta

nabla utimesnabla v

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