Mostre que
onde
. Mostre que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: A questão pede para provar que
onde
e
. Em seguida, estender esse resultado para uma função arbitrária
, mostrando que
. Vamos usar o operador gradiente em coordenadas cartesianas e a regra da cadeia.
Passo 2
Cálculo de
: escrevemos
e
. Aplicando a regra da cadeia em cada componente temos:
Para a componente
:
Repetindo para
e
obtemos o vetor
Passo 3
Extensão para
: para uma função escalar
, usamos a mesma ideia. Pela regra da cadeia:
Mas já sabemos que
logo
Resposta
As duas identidades são
e
.
e