Mostre que nabla(r^n)=n r^n-1 r onde r=r / r. Mostre que nabla f(r)=f^prime(r) r.

Passo 1

Resumo do enunciado: A questão pede para provar que nabla(r^n) = n,r^n-1 ,r onde r=raizx^2+y^2+z^2 e r=r/r. Em seguida, estender esse resultado para uma função arbitrária f(r), mostrando que nabla f(r)=f'(r),r. Vamos usar o operador gradiente em coordenadas cartesianas e a regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de nabla(r^n): escrevemos r=raizx^2+y^2+z^2 e nabla=i,partial/partial x + j,partial/partial y + k,partial/partial z. Aplicando a regra da cadeia em cada componente temos:
Para a componente x:
partial(r^n)partial x = n,r^n-1partial rpartial x = n,r^n-1xr = n,r^n-1 (rcdoti)
Repetindo para y e z obtemos o vetor
nabla(r^n) = n,r^n-1l(xr,yr,zrr) = n,r^n-1,r

Passo 3

Extensão para f(r): para uma função escalar f(r), usamos a mesma ideia. Pela regra da cadeia:
nabla f(r) = f'(r),nabla r
Mas já sabemos que
nabla r = r,
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nabla f(r) = f'(r),r

Resposta

As duas identidades são
nabla(r^n) = n,r^n-1,r
e
nabla f(r)=f'(r),r.

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