RESOLVA:
a) y^prime=y-5 x3 x
b) x y^prime-x-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício! A parte a) pede para resolver a equação diferencial $ y^{\prime} = \frac{y - 5x}{3x} $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de equações lineares para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos termos. A equação dada é:
y^prime = y - 5x3x
Podemos multiplicar ambos os lados por 3x para simplificar:
3x y^prime = y - 5x
E rearranjar para:
y^prime - 13x y = -53
Isso nos mostra que a equação está na forma padrão de uma equação linear: $ y^{\prime} + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) = -\frac{1}{3x} $ e $ Q(x) = -\frac{5}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -13x dx = e^-13 ln x = x^-13
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
x^-13 y^prime - 13x^43 y = -53 x^-13

Passo 4

Com o fator integrante aplicado, a equação fica:
ddx ( x^-13 y ) = -53 x^-13
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Calculando a integral:
integral -53 x^-13 dx = -53 cdot 32 x^23 = -52 x^23
Portanto:
x^-13 y = -52 x^23 + C

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ x^{\frac{1}{3}} $ para isolar $ y $:
x^13
Simplificando os expoentes:
y

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): resolver a equação $ x y^{\prime} - x - y = 0 $. Novamente, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos usar o método de equações lineares.

Passo 8

Primeiro, vamos reescrever a equação para colocá-la na forma padrão:
x y^prime - y = x
Dividindo todos os termos por $ x $ (desde que $ x \neq 0 $):
x
Aqui, $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = 1 $.

Passo 9

Vamos achar o fator integrante:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln x = x^-1
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = \frac{1}{x} $:
mu(x) = 1x

Passo 10

Com o fator integrante aplicado, a equação se torna:
ddx ( 1x y ) = 1x
Agora, integramos ambos os lados:
1x y = integral 1x dx + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 11

Calculando a integral:
integral 1x dx = ln |x|
Então:
1x y = ln |x| + C

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por $ x $ para isolar $ y $:
x

Resposta

A solução geral da equação $ x y^{\prime} - x - y = 0 $ é:
x y^prime - x - y = 0

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