RESOLVA:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício! A parte a) pede para resolver a equação diferencial $ y^{\prime} = \frac{y - 5x}{3x} $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de equações lineares para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos termos. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
E rearranjar para:
Isso nos mostra que a equação está na forma padrão de uma equação linear: $ y^{\prime} + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) = -\frac{1}{3x} $ e $ Q(x) = -\frac{5}{3} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Passo 4
Com o fator integrante aplicado, a equação fica:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ x^{\frac{1}{3}} $ para isolar $ y $:
Simplificando os expoentes:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): resolver a equação $ x y^{\prime} - x - y = 0 $. Novamente, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos usar o método de equações lineares.
Passo 8
Primeiro, vamos reescrever a equação para colocá-la na forma padrão:
Dividindo todos os termos por $ x $ (desde que $ x \neq 0 $):
Aqui, $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = 1 $.
Passo 9
Vamos achar o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = \frac{1}{x} $:
Passo 10
Com o fator integrante aplicado, a equação se torna:
Agora, integramos ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 11
Calculando a integral:
Então:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por $ x $ para isolar $ y $:
Resposta
A solução geral da equação $ x y^{\prime} - x - y = 0 $ é: