Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto
formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A .
Se
, qual o valor da soma de todos os elementos de A?
(A) 5
(B) 3
© 12
(D) 8
(E) -12
Se
(A) 5
(B) 3
© 12
(D) 8
(E) -12
Passo 1
O enunciado pede a soma dos cinco elementos inteiros de um conjunto A, sabendo que o conjunto B dos produtos de todas as triplas de A (há
produtos, mas só 5 valores distintos) é
. Vamos usar combinatória simples, propriedades de sinais e fatoração para descobrir quem são os elementos de A.
Passo 2
Como aparece 0 em B, existe pelo menos um elemento zero em A. Sejam os elementos de A:
. Qualquer tripla contendo 0 dá produto 0 (são
delas), mas como B é conjunto só listamos o valor 0 uma vez. Portanto, os outros quatro produtos não nulos vêm das triplas formadas por
.
Passo 3
Entre os quatro produtos não nulos, três são negativos (
) e um é positivo (
). Ao analisar o sinal de um produto de três números, só dá exatamente três resultados negativos e um positivo se entre
houver exatamente um número negativo e três positivos. A única tripla sem o número negativo é a do produto positivo, logo
onde
Passo 4
Precisamos achar três positivos distintos cujo produto seja 30 e um inteiro
negativo tal que, ao multiplicar cada par de positivos por
, obtenhamos
. As únicas triplas positivas possíveis (fatores de 30) são
Só em
$$-k\cdot6=-12,
-k\cdot10=-20,
-k\cdot15=-30.
-k\cdot15=-30.
$$
Então os não nulos de A são e o negativo é
.
Então os não nulos de A são
Passo 5
Somando todos os elementos
Resposta
8