Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A .
Se B=-30,-20,-12,0,30, qual o valor da soma de todos os elementos de A?
(A) 5
(B) 3
© 12
(D) 8
(E) -12

Passo 1

O enunciado pede a soma dos cinco elementos inteiros de um conjunto A, sabendo que o conjunto B dos produtos de todas as triplas de A (há binom53=10 produtos, mas só 5 valores distintos) é -30, -20, -12, 0, 30. Vamos usar combinatória simples, propriedades de sinais e fatoração para descobrir quem são os elementos de A.

Passo 2

Como aparece 0 em B, existe pelo menos um elemento zero em A. Sejam os elementos de A: 0, w,x,y,z. Qualquer tripla contendo 0 dá produto 0 (são binom42=6 delas), mas como B é conjunto só listamos o valor 0 uma vez. Portanto, os outros quatro produtos não nulos vêm das triplas formadas por w,x,y,z.

Passo 3

Entre os quatro produtos não nulos, três são negativos ( -30,-20,-12) e um é positivo ( 30). Ao analisar o sinal de um produto de três números, só dá exatamente três resultados negativos e um positivo se entre w,x,y,z houver exatamente um número negativo e três positivos. A única tripla sem o número negativo é a do produto positivo, logo
w+cdot x+cdot y+=30,
onde w+,x+,y+>0 são os três positivos.

Passo 4

Precisamos achar três positivos distintos cujo produto seja 30 e um inteiro -k negativo tal que, ao multiplicar cada par de positivos por -k), obtenhamos -12,-20,-30. As únicas triplas positivas possíveis (fatores de 30) são
2,3,5,1,5,6,1,3,10,1,2,15
Só em 2,3,5 os produtos par a par são 6,10,15, e escolhendo k=2 temos
$$-k\cdot6=-12,
-k\cdot10=-20,
-k\cdot15=-30.
$$
Então os não nulos de A são -kcdot6=-12, -kcdot10=-20, -kcdot15=-30 e o negativo é 2,3,5.

Passo 5

Somando todos os elementos
0 + 2 + 3 + 5 + (-2) = 8

Resposta

8

Exercícios relacionados