Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das seguintes funções.
h(x)=integralraizx^2 x arctg(t) d t

Passo 1

A gente tem a função . O conteúdo aqui é "derivada de integral com limites que dependem de h(x)=integralraizx^2xarctg(t),dt", e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, pra resolver.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, diz que se H(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt, então
H'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Na nossa integral, identificamos:
f(t)=\arctg(t),
a(x)=\sqrt{x},
b(x)=2x.
Agora calculamos as derivadas:
a’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
b’(x)=2.

Passo 4

Aplicando direto a fórmula do Teorema, temos:
$$h’(x)=\arctg\bigl(2x\bigr)\cdot 2;-
\arctg\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Passo 5

Por fim, organizando a expressão fica:

Resposta

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