Considere o conjunto de funções .
Verifique que se trata de um conjunto ortogonal de funções, para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto de funções é ortogonal no intervalo . Isso faz parte da matéria de Análise de Fourier e Ortogonalidade de Funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa funções serem ortogonais e como calcular o produto interno delas no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ortogonalidade de funções. Duas funções e são ortogonais no intervalo se a integral do produto delas nesse intervalo for zero, ou seja:
Então, nosso objetivo é mostrar que, para , a integral do produto de e no intervalo de 0 a 30 é igual a zero.
Passo 3
Vamos definir as nossas funções:
Queremos calcular:
Passo 4
Usaremos a identidade trigonométrica para o produto de dois senos:
Aplicando isso nas nossas funções:
Passo 5
Simplificando os argumentos das cossenos:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Calculando cada integral:
Para o primeiro termo,
Para o segundo termo, mesma regra
Aplicando os limites de integração de 0 a 30:
Simplificando:
12 [ sin((m - n)pi)(m - n) pi30 - sin((m + n +1)pi)(m + n +1) pi30 ]
Passo 8
Sabemos que sin(kpi) = 0 para qualquer inteiro k. Portanto, ambos os termos se anulam:
12 [ 0 - 0 ] = 0
Resposta
O conjunto de funções sen((2 n+1) pi x60) ; n=0,1,2, ldots é ortogonal no intervalo x in (0,30).