Considere o conjunto de funções sen((2 n+1) pi x60) ; n=0,1,2, ldots.
Verifique que se trata de um conjunto ortogonal de funções, para x in(0,30).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto de funções sen((2 n+1) pi x60) ; n=0,1,2, ldots é ortogonal no intervalo x in (0,30). Isso faz parte da matéria de Análise de Fourier e Ortogonalidade de Funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa funções serem ortogonais e como calcular o produto interno delas no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ortogonalidade de funções. Duas funções f(x) e g(x) são ortogonais no intervalo [a, b] se a integral do produto delas nesse intervalo for zero, ou seja:
integrala^b f(x) g(x) , dx = 0
Então, nosso objetivo é mostrar que, para m neq n, a integral do produto de sen((2 m+1) pi x60) e sen((2 n+1) pi x60) no intervalo de 0 a 30 é igual a zero.

Passo 3

Vamos definir as nossas funções:
fm(x) = sen((2 m+1) pi x60) fn(x) = sen((2 n+1) pi x60)
Queremos calcular:
integral0^30 fm(x) fn(x) , dx

Passo 4

Usaremos a identidade trigonométrica para o produto de dois senos:
senA cdot senB = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso nas nossas funções:
sen((2 m+1) pi x60) cdot sen((2 n+1) pi x60) = 12 [ cos((2 m+1) pi x60 - (2 n+1) pi x60) - cos((2 m+1) pi x60 + (2 n+1) pi x60) ]

Passo 5

Simplificando os argumentos das cossenos:
cos((2 (m - n)) pi x60) - cos((2 (m + n)+2) pi x60)
Ou seja:
cos((m - n) pi x30) - cos((m + n +1) pi x30)

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 [ integral0^30 cos((m - n) pi x30) dx - integral0^30 cos((m + n +1) pi x30) dx ]

Passo 7

Calculando cada integral:
  • Para o primeiro termo, integral cos(kx) dx = sin(kx)k
  • Para o segundo termo, mesma regra
Aplicando os limites de integração de 0 a 30:
12 [ sin((m - n) pi cdot 3030)(m - n) pi30 - sin((m + n +1) pi cdot 3030)(m + n +1) pi30 ]
Simplificando:
12 [ sin((m - n)pi)(m - n) pi30 - sin((m + n +1)pi)(m + n +1) pi30 ]

Passo 8

Sabemos que sin(kpi) = 0 para qualquer inteiro k. Portanto, ambos os termos se anulam:
12 [ 0 - 0 ] = 0

Resposta

O conjunto de funções sen((2 n+1) pi x60) ; n=0,1,2, ldots é ortogonal no intervalo x in (0,30).

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