Considere o conjunto de funções
.
Sabendo que se trata de um conjunto ortogonal completo neste intervalo, calcule os coeficientes
tais que
Escreva a série, mantendo apenas termos não nulos, e depois, escreva explicitamente os seus 3 primeiros termos.
Sabendo que se trata de um conjunto ortogonal completo neste intervalo, calcule os coeficientes
Passo 1
Então, a gente tem uma função constante, que é 20, e queremos representá-la como uma soma infinita de funções seno da forma
, onde
começa em 0 e vai aumentando. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, especificamente utilizando funções ortogonais. Pra resolver, vamos precisar calcular os coeficientes
que fazem essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem funções ortogonais, os coeficientes da série podem ser encontrados usando a fórmula da projeção. No caso, cada coeficiente
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o numerador primeiro:
Agora, avaliando nos limites:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o denominador:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Integrando termo a termo:
Avaliando nos limites:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, juntando numerador e denominador para encontrar
:
Passo 6
Então, a série fica:
Passo 7
Mantendo apenas os termos não nulos e escrevendo os primeiros três, temos:
Resposta
A série que representa a função constante 20 é: