Considere o conjunto de funções sen((2 n+1) pi x60) ; n=0,1,2, ldots.
Sabendo que se trata de um conjunto ortogonal completo neste intervalo, calcule os coeficientes cn tais que
20=sumn=0^infty cn sen((2 n+1) pi x60) ; 0
Escreva a série, mantendo apenas termos não nulos, e depois, escreva explicitamente os seus 3 primeiros termos.

Passo 1

Então, a gente tem uma função constante, que é 20, e queremos representá-la como uma soma infinita de funções seno da forma sen((2n+1) pi x60), onde n começa em 0 e vai aumentando. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, especificamente utilizando funções ortogonais. Pra resolver, vamos precisar calcular os coeficientes cn que fazem essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem funções ortogonais, os coeficientes da série podem ser encontrados usando a fórmula da projeção. No caso, cada coeficiente cn é dado por:
cn = integral0^30 20 cdot sen((2n+1) pi x60) dxintegral0^30 sen^2((2n+1) pi x60) dx

Passo 3

Vamos calcular o numerador primeiro:
integral0^30 20 cdot sen((2n+1) pi x60) dx = 20 cdot [ -60(2n+1)pi cos((2n+1)pi x60) ]0^30
Agora, avaliando nos limites:
= 20 cdot ( -60(2n+1)pi [ cos((2n+1)pi cdot 3060) - cos(0) ] )
Simplificando:
= 20 cdot ( -60(2n+1)pi [ cos((2n+1)pi2) - 1 ] )
Sabemos que cos((2n+1)pi2) = 0, então:
= 20 cdot ( -60(2n+1)pi [ 0 - 1 ] ) = 20 cdot 60(2n+1)pi = 1200(2n+1)pi

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador:
integral0^30 sen^2((2n+1)pi x60) dx
Usamos a identidade trigonométrica sen^2 theta = 1 - cos(2theta)2:
= integral0^30 1 - cos((2n+1)2pi x60)2 dx = 12 integral0^30 [1 - cos((2n+1)pi x30)] dx
Integrando termo a termo:
= 12 [ x - 30(2n+1)pi sen((2n+1)pi x30) ]0^30
Avaliando nos limites:
= 12 [ 30 - 30(2n+1)pi ( sen((2n+1)pi cdot 3030) - 0 ) ]
Simplificando:
= 12 [ 30 - 30(2n+1)pi sen((2n+1)pi) ]
Como sen((2n+1)pi) = 0, temos:
= 12 cdot 30 = 15

Passo 5

Agora, juntando numerador e denominador para encontrar cn:
cn = 1200(2n+1)pi15 = 80(2n+1)pi

Passo 6

Então, a série fica:
20 = sumn=0^infty 80(2n+1)pi sen((2n+1)pi x60)

Passo 7

Mantendo apenas os termos não nulos e escrevendo os primeiros três, temos:
20 = 80pi sen(pi x60) + 803pi sen(3pi x60) + 805pi sen(5pi x60) + cdots

Resposta

A série que representa a função constante 20 é:
20 = 80pi sen(pi x60) + 803pi sen(3pi x60) + 805pi sen(5pi x60) + cdots

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