Considere a seguinte equação diferencial para y(x) :
x y^prime prime+(1-x) y^prime-y=0, (x>0)
Mostre que x=0 é um ponto singular regular desta equação diferencial.

Passo 1

Temos a equação diferencial x y''+(1-x) y'-y=0 com x>0. O conteúdo é a classificação de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem; precisamos verificar se x=0 é um ponto singular regular.

Passo 2

Lembrando que em uma equação na forma
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0,
um ponto x0 é singular regular se as funções (x-x0)P(x) e (x-x0)^2Q(x) forem analíticas em torno de x0.

Passo 3

Dividindo a equação original por x, chegamos à forma normal:
y'' + 1-xx,y' - 1x,y = 0
Assim, identificamos:
P(x) = 1-xx,
e
Q(x) = -1x

Passo 4

Calculamos as funções (x-0)P(x) e (x-0)^2Q(x):
(x-0)P(x) = x cdot 1-xx = 1-x,
e
(x-0)^2Q(x) = x^2 cdot l(-1xr) = -x
Ambas são funções polinomiais, logo analíticas em x=0.

Passo 5

Como (x-0)P(x) e (x-0)^2Q(x) são analíticas em x=0, concluímos que x=0 é um ponto singular regular da equação.

Resposta

O ponto x=0 é um ponto singular regular dessa equação diferencial.

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