Seja
Sabendo que
é um conjunto ortogonal completo em
, determine a série de Fourier da função
estabelecida acima, com relação a este conjunto ortogonal. Mantenha, na série obtida, apenas os termos não nulos.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo
, a função por partes
usando o conjunto ortogonal completo de cossenos e senos. Vamos aplicar a fórmula geral da série de Fourier:
com
Passo 2
Para calcular
, dividimos a integral em duas partes:
Logo,
e portanto
.
Passo 3
Para os coeficientes
com
, separamos também em duas integrais. A parte de
dá zero por ser a integral de
sobre um múltiplo de período. Na parte
obtemos
Isso zera para
par e, para
ímpar, resulta
Passo 4
Para
, calculamos
aplicando integração por partes e usando a paridade de
. Aqui não há cancelamento sistemático, então
para todo
.
Passo 5
Reunindo tudo, e mantendo só os termos não nulos, a série de Fourier fica: