Seja
f(x)= 1 & (-L
Sabendo que cos m pi xL, sen n pi xL ; m=0,1,2, ldots ; n=1,2,3, cdots é um conjunto ortogonal completo em [-L1+L], determine a série de Fourier da função f(x) estabelecida acima, com relação a este conjunto ortogonal. Mantenha, na série obtida, apenas os termos não nulos.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo [-L,L], a função por partes
f(x)=1,&-L
usando o conjunto ortogonal completo de cossenos e senos. Vamos aplicar a fórmula geral da série de Fourier:
f(x)=A02+summ=1^infty Amcosmpi xL+sumn=1^infty Bnsinnpi xL
com
A0=1Lintegral-L^L f(x),dx, Am=1Lintegral-L^L f(x)cosmpi xL,dx, Bn=1Lintegral-L^L f(x)sinnpi xL,dx

Passo 2

Para calcular A0, dividimos a integral em duas partes:
integral-L^L f(x),dx=integral-L^0 1,dx+integral0^Ll(1+ xLr),dx=L+l(L+L2r)=5L2
Logo,
A0=1Lcdot5L2=52,
e portanto A0/2=5/4.

Passo 3

Para os coeficientes Am com m>=1, separamos também em duas integrais. A parte de -L,0 dá zero por ser a integral de cos(mpi x/L) sobre um múltiplo de período. Na parte (0,L) obtemos
Am=1Lintegral0^Ll(1+ xLr)cosmpi xL,dx =(-1)^m-1m^2pi^2
Isso zera para m par e, para m=2k-1 ímpar, resulta
A2k-1=-2(2k-1)^2pi^2

Passo 4

Para Bn, calculamos
Bn=1Lintegral-L^L f(x)sinnpi xL,dx =(-1)^n+1npi
aplicando integração por partes e usando a paridade de sin. Aqui não há cancelamento sistemático, então Bnneq0 para todo n.

Passo 5

Reunindo tudo, e mantendo só os termos não nulos, a série de Fourier fica:
f(x)=54-2sumk=1^infty1(2k-1)^2pi^2cos(2k-1)pi xL+sumn=1^infty(-1)^n+1npisinnpi xL

Resposta

f(x)=54-2sumk=1^infty1(2k-1)^2pi^2cos(2k-1)pi xL+sumn=1^infty(-1)^n+1npisinnpi xL

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