Considere o conjunto:
com as operações:
-
.
-
.
Pergunta: Verifique se
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de
, isto é,
Para ser espaço vetorial sobre
,
deve satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, neutro, inverso aditivo, associatividade, comutatividade, propriedades de multiplicação escalar etc.).
Passo 2
Verificando os axiomas de adição:
- Fechamento: se
, então
logo
.
- Neutro aditivo:
e para todo
portanto o elemento neutro existe.
- Inverso aditivo: para
o inverso seria . Se algum dos componentes de é negativo, então . Logo, em geral não existe inverso aditivo em , violando esse axioma.
Passo 3
Verificando o fechamento sob multiplicação escalar:
- Se escolhermos
e com ou , então
implicando
. Portanto não há fechamento para todos os escalares de
.
Passo 4
Como faltam o inverso aditivo para vetores não nulos e o fechamento sob multiplicação por escalares negativos,
não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não.