Considere o conjunto:
V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0, y \geq 0\right\}
com as operações:
  • \oplus:\left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right).
  • \odot: k \odot(x, y)=(k x, k y), k \in \mathbb{R}.
Pergunta: Verifique se (V, \oplus, \odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
V = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\;y\ge 0\}
com as operações usuais de \mathbb{R}^2, isto é,
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\,y_1+y_2), \quad k\odot(x,y) = (k\,x,\,k\,y).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, (V,\oplus,\odot) deve satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, neutro, inverso aditivo, associatividade, comutatividade, propriedades de multiplicação escalar etc.).

Passo 2

Verificando os axiomas de adição:
  • Fechamento: se (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V, então
x_1+x_2\ge0,\quad y_1+y_2\ge0,
logo (x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)\in V.
  • Neutro aditivo: (0,0)\in V e para todo (x,y)\in V
(x,y)\oplus(0,0)=(x,y),
portanto o elemento neutro existe.
  • Inverso aditivo: para (x,y)\in V o inverso seria (-x,-y). Se (x,y)\neq(0,0) algum dos componentes de (-x,-y) é negativo, então (-x,-y)\notin V. Logo, em geral não existe inverso aditivo em V, violando esse axioma.

Passo 3

Verificando o fechamento sob multiplicação escalar:
  • Se escolhermos k<0 e (x,y)\in V com x>0 ou y>0, então
kx<0\quad\text{ou}\quad ky<0,
implicando (k\,x,k\,y)\notin V. Portanto não há fechamento para todos os escalares de \mathbb{R}.

Passo 4

Como faltam o inverso aditivo para vetores não nulos e o fechamento sob multiplicação por escalares negativos, (V,\oplus,\odot) não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Não.

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